Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 6881 / 7903
↖ ↑ ↗
← N 79.465564°
W142.201538°		 ← 111.67 m → N 79.465564°
W142.196045°		 →
↑
111.68 m
↓
↑
111.68 m
↓
N 79.464560°
W142.201538°		 ← 111.68 m →
12 472 m²		 N 79.464560°
W142.196045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105003356933594 y=0.120597839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105003356933594 × 216)
    floor (0.105003356933594 × 65536)
    floor (6881.5)     		tx = 6881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120597839355469 × 216)
    floor (0.120597839355469 × 65536)
    floor (7903.5)     		ty = 7903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6881 / 7903 ti = "16/6881/7903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6881/7903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6881 ÷ 216
    6881 ÷ 65536     		x = 0.104995727539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7903 ÷ 216
    7903 ÷ 65536     		y = 0.120590209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104995727539062 × 2 - 1) × π
    -0.790008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.48188504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120590209960938 × 2 - 1) × π
    0.758819580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.38390201810539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48188504} λ = -2.48188504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38390201810539))-π/2
    2×atan(10.8471461539758)-π/2
    2×1.47886603124484-π/2
    2.95773206248967-1.57079632675     		φ = 1.38693574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48188504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.201538°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38693574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.465564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6881 KachelY 7903 -2.48188504 1.38693574 -142.201538 79.465564
    Oben rechts KachelX + 1 6882 KachelY 7903 -2.48178917 1.38693574 -142.196045 79.465564
    Unten links KachelX 6881 KachelY + 1 7904 -2.48188504 1.38691821 -142.201538 79.464560
    Unten rechts KachelX + 1 6882 KachelY + 1 7904 -2.48178917 1.38691821 -142.196045 79.464560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38693574-1.38691821) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dl = 111.683630000276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38693574-1.38691821) × R
    1.75300000000433e-05 × 6371000     		dr = 111.683630000276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48188504--2.48178917) × cos(1.38693574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182826443821208 × 6371000     		do = 111.668155918584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48188504--2.48178917) × cos(1.38691821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182843678328536 × 6371000     		du = 111.678682544881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38693574)-sin(1.38691821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182826443821208-0.182843678328536)×R²
    abs(-2.48178917--2.48188504)×1.72345073275737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72345073275737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72345073275737e-05×40589641000000     		ar = 12472.0928346476m²