Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68809 / 44627
↖ ↑ ↗
← N 49.690732°
E  8.989563°		 ← 197.58 m → N 49.690732°
E  8.992310°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.688955°
E  8.989563°		 ← 197.59 m →
39 049 m²		 N 49.688955°
E  8.992310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524974822998047 y=0.340480804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524974822998047 × 217)
    floor (0.524974822998047 × 131072)
    floor (68809.5)     		tx = 68809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340480804443359 × 217)
    floor (0.340480804443359 × 131072)
    floor (44627.5)     		ty = 44627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68809 / 44627 ti = "17/68809/44627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68809/44627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68809 ÷ 217
    68809 ÷ 131072     		x = 0.524971008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44627 ÷ 217
    44627 ÷ 131072     		y = 0.340476989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524971008300781 × 2 - 1) × π
    0.0499420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15689747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340476989746094 × 2 - 1) × π
    0.319046020507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.00231263415575
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15689747} λ = 0.15689747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00231263415575))-π/2
    2×atan(2.72457549452904)-π/2
    2×1.21903160143235-π/2
    2.4380632028647-1.57079632675     		φ = 0.86726688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15689747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.989563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86726688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.690732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68809 KachelY 44627 0.15689747 0.86726688 8.989563 49.690732
    Oben rechts KachelX + 1 68810 KachelY 44627 0.15694541 0.86726688 8.992310 49.690732
    Unten links KachelX 68809 KachelY + 1 44628 0.15689747 0.86723586 8.989563 49.688955
    Unten rechts KachelX + 1 68810 KachelY + 1 44628 0.15694541 0.86723586 8.992310 49.688955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86726688-0.86723586) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86726688-0.86723586) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15689747-0.15694541) × cos(0.86726688) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646913138935675 × 6371000     		do = 197.583924175136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15689747-0.15694541) × cos(0.86723586) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646936793350283 × 6371000     		du = 197.591148842222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86726688)-sin(0.86723586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646913138935675-0.646936793350283)×R²
    abs(0.15694541-0.15689747)×2.36544146076101e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36544146076101e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36544146076101e-05×40589641000000     		ar = 39048.912654956m²