Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68807 / 44604
↖ ↑ ↗
← N 49.731581°
E  8.984070°		 ← 197.42 m → N 49.731581°
E  8.986817°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
N 49.729805°
E  8.984070°		 ← 197.43 m →
38 978 m²		 N 49.729805°
E  8.986817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524959564208984 y=0.340305328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524959564208984 × 217)
    floor (0.524959564208984 × 131072)
    floor (68807.5)     		tx = 68807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340305328369141 × 217)
    floor (0.340305328369141 × 131072)
    floor (44604.5)     		ty = 44604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68807 / 44604 ti = "17/68807/44604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68807/44604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68807 ÷ 217
    68807 ÷ 131072     		x = 0.524955749511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44604 ÷ 217
    44604 ÷ 131072     		y = 0.340301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524955749511719 × 2 - 1) × π
    0.0499114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15680160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340301513671875 × 2 - 1) × π
    0.31939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00341518284702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15680160} λ = 0.15680160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00341518284702))-π/2
    2×atan(2.72758112829909)-π/2
    2×1.21938807814381-π/2
    2.43877615628762-1.57079632675     		φ = 0.86797983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15680160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.984070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86797983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.731581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68807 KachelY 44604 0.15680160 0.86797983 8.984070 49.731581
    Oben rechts KachelX + 1 68808 KachelY 44604 0.15684954 0.86797983 8.986817 49.731581
    Unten links KachelX 68807 KachelY + 1 44605 0.15680160 0.86794884 8.984070 49.729805
    Unten rechts KachelX + 1 68808 KachelY + 1 44605 0.15684954 0.86794884 8.986817 49.729805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86797983-0.86794884) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dl = 197.437289999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86797983-0.86794884) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dr = 197.437289999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15680160-0.15684954) × cos(0.86797983) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646369304782345 × 6371000     		do = 197.417823226418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15680160-0.15684954) × cos(0.86794884) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.646392950608004 × 6371000     		du = 197.425045270218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86797983)-sin(0.86794884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646369304782345-0.646392950608004)×R²
    abs(0.15684954-0.15680160)×2.36458256585026e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36458256585026e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36458256585026e-05×40589641000000     		ar = 38978.3529688874m²