Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68806 / 44440
↖ ↑ ↗
← N 50.021859°
E  8.981323°		 ← 196.23 m → N 50.021859°
E  8.984070°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
N 50.020094°
E  8.981323°		 ← 196.24 m →
38 507 m²		 N 50.020094°
E  8.984070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524951934814453 y=0.339054107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524951934814453 × 217)
    floor (0.524951934814453 × 131072)
    floor (68806.5)     		tx = 68806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339054107666016 × 217)
    floor (0.339054107666016 × 131072)
    floor (44440.5)     		ty = 44440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68806 / 44440 ti = "17/68806/44440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68806/44440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68806 ÷ 217
    68806 ÷ 131072     		x = 0.524948120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44440 ÷ 217
    44440 ÷ 131072     		y = 0.33905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524948120117188 × 2 - 1) × π
    0.049896240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15675366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33905029296875 × 2 - 1) × π
    0.3218994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0112768343847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15675366} λ = 0.15675366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0112768343847))-π/2
    2×atan(2.7491089318374)-π/2
    2×1.22192122706612-π/2
    2.44384245413223-1.57079632675     		φ = 0.87304613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15675366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.981323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87304613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.021859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68806 KachelY 44440 0.15675366 0.87304613 8.981323 50.021859
    Oben rechts KachelX + 1 68807 KachelY 44440 0.15680160 0.87304613 8.984070 50.021859
    Unten links KachelX 68806 KachelY + 1 44441 0.15675366 0.87301533 8.981323 50.020094
    Unten rechts KachelX + 1 68807 KachelY + 1 44441 0.15680160 0.87301533 8.984070 50.020094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87304613-0.87301533) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87304613-0.87301533) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15675366-0.15680160) × cos(0.87304613) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64249531389487 × 6371000     		do = 196.234606692972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15675366-0.15680160) × cos(0.87301533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642518915310211 × 6371000     		du = 196.241815172717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87304613)-sin(0.87301533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64249531389487-0.642518915310211)×R²
    abs(0.15680160-0.15675366)×2.3601415340968e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3601415340968e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3601415340968e-05×40589641000000     		ar = 38507.1961720012m²