Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68806 / 43589
↖ ↑ ↗
← N 51.500195°
E  8.981323°		 ← 190.13 m → N 51.500195°
E  8.984070°		 →
↑
190.11 m
↓
↑
190.11 m
↓
N 51.498485°
E  8.981323°		 ← 190.14 m →
36 147 m²		 N 51.498485°
E  8.984070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524951934814453 y=0.332561492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524951934814453 × 217)
    floor (0.524951934814453 × 131072)
    floor (68806.5)     		tx = 68806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332561492919922 × 217)
    floor (0.332561492919922 × 131072)
    floor (43589.5)     		ty = 43589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68806 / 43589 ti = "17/68806/43589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68806/43589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68806 ÷ 217
    68806 ÷ 131072     		x = 0.524948120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43589 ÷ 217
    43589 ÷ 131072     		y = 0.332557678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524948120117188 × 2 - 1) × π
    0.049896240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15675366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332557678222656 × 2 - 1) × π
    0.334884643554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.05207113596137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15675366} λ = 0.15675366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05207113596137))-π/2
    2×atan(2.86357583538851)-π/2
    2×1.23482214188294-π/2
    2.46964428376588-1.57079632675     		φ = 0.89884796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15675366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.981323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89884796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.500195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68806 KachelY 43589 0.15675366 0.89884796 8.981323 51.500195
    Oben rechts KachelX + 1 68807 KachelY 43589 0.15680160 0.89884796 8.984070 51.500195
    Unten links KachelX 68806 KachelY + 1 43590 0.15675366 0.89881812 8.981323 51.498485
    Unten rechts KachelX + 1 68807 KachelY + 1 43590 0.15680160 0.89881812 8.984070 51.498485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89884796-0.89881812) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dl = 190.110639999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89884796-0.89881812) × R
    2.98399999999477e-05 × 6371000     		dr = 190.110639999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15675366-0.15680160) × cos(0.89884796) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62251197950488 × 6371000     		do = 190.131181999238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15675366-0.15680160) × cos(0.89881812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622535332318195 × 6371000     		du = 190.138314549526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89884796)-sin(0.89881812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.62251197950488-0.622535332318195)×R²
    abs(0.15680160-0.15675366)×2.33528133156691e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33528133156691e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33528133156691e-05×40589641000000     		ar = 36146.6386832703m²