Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68805 / 72530
↖ ↑ ↗
← S 18.859509°
E  8.978576°		 ← 289.03 m → S 18.859509°
E  8.981323°		 →
↑
289.05 m
↓
↑
289.05 m
↓
S 18.862108°
E  8.978576°		 ← 289.02 m →
83 544 m²		 S 18.862108°
E  8.981323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524944305419922 y=0.553363800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524944305419922 × 217)
    floor (0.524944305419922 × 131072)
    floor (68805.5)     		tx = 68805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553363800048828 × 217)
    floor (0.553363800048828 × 131072)
    floor (72530.5)     		ty = 72530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68805 / 72530 ti = "17/68805/72530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68805/72530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68805 ÷ 217
    68805 ÷ 131072     		x = 0.524940490722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72530 ÷ 217
    72530 ÷ 131072     		y = 0.553359985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524940490722656 × 2 - 1) × π
    0.0498809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15670572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553359985351562 × 2 - 1) × π
    -0.106719970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.335270675942673
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15670572} λ = 0.15670572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335270675942673))-π/2
    2×atan(0.715144487744132)-π/2
    2×0.620817902334171-π/2
    1.24163580466834-1.57079632675     		φ = -0.32916052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15670572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.978576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32916052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.859509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68805 KachelY 72530 0.15670572 -0.32916052 8.978576 -18.859509
    Oben rechts KachelX + 1 68806 KachelY 72530 0.15675366 -0.32916052 8.981323 -18.859509
    Unten links KachelX 68805 KachelY + 1 72531 0.15670572 -0.32920589 8.978576 -18.862108
    Unten rechts KachelX + 1 68806 KachelY + 1 72531 0.15675366 -0.32920589 8.981323 -18.862108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32916052--0.32920589) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dl = 289.05226999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32916052--0.32920589) × R
    4.5369999999989e-05 × 6371000     		dr = 289.05226999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15670572-0.15675366) × cos(-0.32916052) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946314037787297 × 6371000     		do = 289.028665263551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15670572-0.15675366) × cos(-0.32920589) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.946299371018427 × 6371000     		du = 289.024185654816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32916052)-sin(-0.32920589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946314037787297-0.946299371018427)×R²
    abs(0.15675366-0.15670572)×1.46667688697422e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46667688697422e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46667688697422e-05×40589641000000     		ar = 83543.7443832845m²