Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68804 / 72531
↖ ↑ ↗
← S 18.862108°
E  8.975830°		 ← 288.96 m → S 18.862108°
E  8.978576°		 →
↑
288.99 m
↓
↑
288.99 m
↓
S 18.864707°
E  8.975830°		 ← 288.96 m →
83 507 m²		 S 18.864707°
E  8.978576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524936676025391 y=0.553371429443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524936676025391 × 217)
    floor (0.524936676025391 × 131072)
    floor (68804.5)     		tx = 68804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553371429443359 × 217)
    floor (0.553371429443359 × 131072)
    floor (72531.5)     		ty = 72531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68804 / 72531 ti = "17/68804/72531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68804/72531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68804 ÷ 217
    68804 ÷ 131072     		x = 0.524932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72531 ÷ 217
    72531 ÷ 131072     		y = 0.553367614746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524932861328125 × 2 - 1) × π
    0.04986572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15665779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553367614746094 × 2 - 1) × π
    -0.106735229492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.335318612842293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15665779} λ = 0.15665779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.335318612842293))-π/2
    2×atan(0.715110206756278)-π/2
    2×0.620795220829407-π/2
    1.24159044165881-1.57079632675     		φ = -0.32920589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15665779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.975830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32920589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.862108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68804 KachelY 72531 0.15665779 -0.32920589 8.975830 -18.862108
    Oben rechts KachelX + 1 68805 KachelY 72531 0.15670572 -0.32920589 8.978576 -18.862108
    Unten links KachelX 68804 KachelY + 1 72532 0.15665779 -0.32925125 8.975830 -18.864707
    Unten rechts KachelX + 1 68805 KachelY + 1 72532 0.15670572 -0.32925125 8.978576 -18.864707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32920589--0.32925125) × R
    4.53599999999943e-05 × 6371000     		dl = 288.988559999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32920589--0.32925125) × R
    4.53599999999943e-05 × 6371000     		dr = 288.988559999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15665779-0.15670572) × cos(-0.32920589) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.946299371018427 × 6371000     		do = 288.96389692192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15665779-0.15670572) × cos(-0.32925125) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.946284705535006 × 6371000     		du = 288.959418640131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32920589)-sin(-0.32925125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946299371018427-0.946284705535006)×R²
    abs(0.15670572-0.15665779)×1.46654834214388e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.46654834214388e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.46654834214388e-05×40589641000000     		ar = 83506.6133916935m²