Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 6880 / 18144
↖ ↑ ↗
← N 62.349609°
W142.207031°		 ← 283.45 m → N 62.349609°
W142.201538°		 →
↑
283.51 m
↓
↑
283.51 m
↓
N 62.347060°
W142.207031°		 ← 283.48 m →
80 365 m²		 N 62.347060°
W142.201538°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104988098144531 y=0.276863098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104988098144531 × 216)
    floor (0.104988098144531 × 65536)
    floor (6880.5)     		tx = 6880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.276863098144531 × 216)
    floor (0.276863098144531 × 65536)
    floor (18144.5)     		ty = 18144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6880 / 18144 ti = "16/6880/18144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6880/18144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6880 ÷ 216
    6880 ÷ 65536     		x = 0.10498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18144 ÷ 216
    18144 ÷ 65536     		y = 0.27685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10498046875 × 2 - 1) × π
    -0.7900390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.48198091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27685546875 × 2 - 1) × π
    0.4462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4020584400874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48198091} λ = -2.48198091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4020584400874))-π/2
    2×atan(4.06355595021395)-π/2
    2×1.3295011479849-π/2
    2.65900229596979-1.57079632675     		φ = 1.08820597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48198091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.207031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08820597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.349609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6880 KachelY 18144 -2.48198091 1.08820597 -142.207031 62.349609
    Oben rechts KachelX + 1 6881 KachelY 18144 -2.48188504 1.08820597 -142.201538 62.349609
    Unten links KachelX 6880 KachelY + 1 18145 -2.48198091 1.08816147 -142.207031 62.347060
    Unten rechts KachelX + 1 6881 KachelY + 1 18145 -2.48188504 1.08816147 -142.201538 62.347060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08820597-1.08816147) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dl = 283.509500000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08820597-1.08816147) × R
    4.45000000000029e-05 × 6371000     		dr = 283.509500000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48198091--2.48188504) × cos(1.08820597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464075257040907 × 6371000     		do = 283.451491360186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48198091--2.48188504) × cos(1.08816147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.464114674493409 × 6371000     		du = 283.475567058099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08820597)-sin(1.08816147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464075257040907-0.464114674493409)×R²
    abs(-2.48188504--2.48198091)×3.94174525019109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.94174525019109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.94174525019109e-05×40589641000000     		ar = 80364.603447919m²