Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68799 / 69439
↖ ↑ ↗
← S 10.657909°
E  8.962097°		 ← 300.16 m → S 10.657909°
E  8.964844°		 →
↑
300.14 m
↓
↑
300.14 m
↓
S 10.660608°
E  8.962097°		 ← 300.15 m →
90 088 m²		 S 10.660608°
E  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524898529052734 y=0.529781341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524898529052734 × 217)
    floor (0.524898529052734 × 131072)
    floor (68799.5)     		tx = 68799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.529781341552734 × 217)
    floor (0.529781341552734 × 131072)
    floor (69439.5)     		ty = 69439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68799 / 69439 ti = "17/68799/69439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68799/69439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68799 ÷ 217
    68799 ÷ 131072     		x = 0.524894714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69439 ÷ 217
    69439 ÷ 131072     		y = 0.529777526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524894714355469 × 2 - 1) × π
    0.0497894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15641810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.529777526855469 × 2 - 1) × π
    -0.0595550537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.187097719217079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15641810} λ = 0.15641810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.187097719217079))-π/2
    2×atan(0.829362687752942)-π/2
    2×0.69239036373648-π/2
    1.38478072747296-1.57079632675     		φ = -0.18601560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15641810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.962097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18601560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.657909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68799 KachelY 69439 0.15641810 -0.18601560 8.962097 -10.657909
    Oben rechts KachelX + 1 68800 KachelY 69439 0.15646604 -0.18601560 8.964844 -10.657909
    Unten links KachelX 68799 KachelY + 1 69440 0.15641810 -0.18606271 8.962097 -10.660608
    Unten rechts KachelX + 1 68800 KachelY + 1 69440 0.15646604 -0.18606271 8.964844 -10.660608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18601560--0.18606271) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dl = 300.137809999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18601560--0.18606271) × R
    4.71099999999891e-05 × 6371000     		dr = 300.137809999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15641810-0.15646604) × cos(-0.18601560) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982748927641405 × 6371000     		do = 300.156818459059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15641810-0.15646604) × cos(-0.18606271) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.982740213805655 × 6371000     		du = 300.154157029327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18601560)-sin(-0.18606271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.982748927641405-0.982740213805655)×R²
    abs(0.15646604-0.15641810)×8.71383574940765e-06×R²
    4.79399999999963e-05×8.71383574940765e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×8.71383574940765e-06×40589641000000     		ar = 90088.0107676752m²