Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68799 / 43980
↖ ↑ ↗
← N 50.826758°
E  8.962097°		 ← 192.93 m → N 50.826758°
E  8.964844°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 50.825023°
E  8.962097°		 ← 192.93 m →
37 219 m²		 N 50.825023°
E  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524898529052734 y=0.335544586181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524898529052734 × 217)
    floor (0.524898529052734 × 131072)
    floor (68799.5)     		tx = 68799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335544586181641 × 217)
    floor (0.335544586181641 × 131072)
    floor (43980.5)     		ty = 43980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68799 / 43980 ti = "17/68799/43980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68799/43980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68799 ÷ 217
    68799 ÷ 131072     		x = 0.524894714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43980 ÷ 217
    43980 ÷ 131072     		y = 0.335540771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524894714355469 × 2 - 1) × π
    0.0497894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15641810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335540771484375 × 2 - 1) × π
    0.32891845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03332780820993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15641810} λ = 0.15641810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03332780820993))-π/2
    2×atan(2.81040277173153)-π/2
    2×1.22894530520472-π/2
    2.45789061040944-1.57079632675     		φ = 0.88709428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15641810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.962097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88709428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.826758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68799 KachelY 43980 0.15641810 0.88709428 8.962097 50.826758
    Oben rechts KachelX + 1 68800 KachelY 43980 0.15646604 0.88709428 8.964844 50.826758
    Unten links KachelX 68799 KachelY + 1 43981 0.15641810 0.88706400 8.962097 50.825023
    Unten rechts KachelX + 1 68800 KachelY + 1 43981 0.15646604 0.88706400 8.964844 50.825023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88709428-0.88706400) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88709428-0.88706400) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15641810-0.15646604) × cos(0.88709428) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.631667319187842 × 6371000     		do = 192.927458396748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15641810-0.15646604) × cos(0.88706400) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.631690793152573 × 6371000     		du = 192.934627949797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88709428)-sin(0.88706400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631667319187842-0.631690793152573)×R²
    abs(0.15646604-0.15641810)×2.34739647312354e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34739647312354e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34739647312354e-05×40589641000000     		ar = 37219.076113841m²