Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68795 / 44099
↖ ↑ ↗
← N 50.619845°
E  8.951111°		 ← 193.74 m → N 50.619845°
E  8.953857°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
N 50.618103°
E  8.951111°		 ← 193.75 m →
37 536 m²		 N 50.618103°
E  8.953857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524868011474609 y=0.336452484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524868011474609 × 217)
    floor (0.524868011474609 × 131072)
    floor (68795.5)     		tx = 68795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336452484130859 × 217)
    floor (0.336452484130859 × 131072)
    floor (44099.5)     		ty = 44099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68795 / 44099 ti = "17/68795/44099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68795/44099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68795 ÷ 217
    68795 ÷ 131072     		x = 0.524864196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44099 ÷ 217
    44099 ÷ 131072     		y = 0.336448669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524864196777344 × 2 - 1) × π
    0.0497283935546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15622636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336448669433594 × 2 - 1) × π
    0.327102661132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.02762331715514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15622636} λ = 0.15622636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02762331715514))-π/2
    2×atan(2.79441649439891)-π/2
    2×1.22713964916233-π/2
    2.45427929832465-1.57079632675     		φ = 0.88348297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15622636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.951111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88348297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.619845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68795 KachelY 44099 0.15622636 0.88348297 8.951111 50.619845
    Oben rechts KachelX + 1 68796 KachelY 44099 0.15627429 0.88348297 8.953857 50.619845
    Unten links KachelX 68795 KachelY + 1 44100 0.15622636 0.88345256 8.951111 50.618103
    Unten rechts KachelX + 1 68796 KachelY + 1 44100 0.15627429 0.88345256 8.953857 50.618103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88348297-0.88345256) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dl = 193.742109999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88348297-0.88345256) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dr = 193.742109999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15622636-0.15627429) × cos(0.88348297) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634462824571255 × 6371000     		do = 193.740856070619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15622636-0.15627429) × cos(0.88345256) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.634486329790104 × 6371000     		du = 193.748033671962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88348297)-sin(0.88345256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634462824571255-0.634486329790104)×R²
    abs(0.15627429-0.15622636)×2.35052188494178e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35052188494178e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35052188494178e-05×40589641000000     		ar = 37536.4575529722m²