Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68793 / 43886
↖ ↑ ↗
← N 50.989557°
E  8.945618°		 ← 192.25 m → N 50.989557°
E  8.948364°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
N 50.987828°
E  8.945618°		 ← 192.26 m →
36 954 m²		 N 50.987828°
E  8.948364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524852752685547 y=0.334827423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524852752685547 × 217)
    floor (0.524852752685547 × 131072)
    floor (68793.5)     		tx = 68793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334827423095703 × 217)
    floor (0.334827423095703 × 131072)
    floor (43886.5)     		ty = 43886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68793 / 43886 ti = "17/68793/43886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68793/43886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68793 ÷ 217
    68793 ÷ 131072     		x = 0.524848937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43886 ÷ 217
    43886 ÷ 131072     		y = 0.334823608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524848937988281 × 2 - 1) × π
    0.0496978759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15613048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334823608398438 × 2 - 1) × π
    0.330352783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03783387677422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15613048} λ = 0.15613048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03783387677422))-π/2
    2×atan(2.82309521434625)-π/2
    2×1.23036598853785-π/2
    2.46073197707569-1.57079632675     		φ = 0.88993565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15613048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.945618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88993565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.989557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68793 KachelY 43886 0.15613048 0.88993565 8.945618 50.989557
    Oben rechts KachelX + 1 68794 KachelY 43886 0.15617842 0.88993565 8.948364 50.989557
    Unten links KachelX 68793 KachelY + 1 43887 0.15613048 0.88990548 8.945618 50.987828
    Unten rechts KachelX + 1 68794 KachelY + 1 43887 0.15617842 0.88990548 8.948364 50.987828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88993565-0.88990548) × R
    3.01699999999405e-05 × 6371000     		dl = 192.213069999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88993565-0.88990548) × R
    3.01699999999405e-05 × 6371000     		dr = 192.213069999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15613048-0.15617842) × cos(0.88993565) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629462029837442 × 6371000     		do = 192.2539062651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15613048-0.15617842) × cos(0.88990548) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.629485472583571 × 6371000     		du = 192.261066283183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88993565)-sin(0.88990548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629462029837442-0.629485472583571)×R²
    abs(0.15617842-0.15613048)×2.34427461281994e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34427461281994e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34427461281994e-05×40589641000000     		ar = 36954.4016698406m²