Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68792 / 72731
↖ ↑ ↗
← S 19.381114°
E  8.942871°		 ← 288.06 m → S 19.381114°
E  8.945618°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
S 19.383705°
E  8.942871°		 ← 288.05 m →
82 988 m²		 S 19.383705°
E  8.945618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524845123291016 y=0.554897308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524845123291016 × 217)
    floor (0.524845123291016 × 131072)
    floor (68792.5)     		tx = 68792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554897308349609 × 217)
    floor (0.554897308349609 × 131072)
    floor (72731.5)     		ty = 72731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68792 / 72731 ti = "17/68792/72731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68792/72731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68792 ÷ 217
    68792 ÷ 131072     		x = 0.52484130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72731 ÷ 217
    72731 ÷ 131072     		y = 0.554893493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52484130859375 × 2 - 1) × π
    0.0496826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15608255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554893493652344 × 2 - 1) × π
    -0.109786987304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.344905992766304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15608255} λ = 0.15608255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344905992766304))-π/2
    2×atan(0.708286934433574)-π/2
    2×0.616266039880272-π/2
    1.23253207976054-1.57079632675     		φ = -0.33826425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15608255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.942871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33826425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.381114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68792 KachelY 72731 0.15608255 -0.33826425 8.942871 -19.381114
    Oben rechts KachelX + 1 68793 KachelY 72731 0.15613048 -0.33826425 8.945618 -19.381114
    Unten links KachelX 68792 KachelY + 1 72732 0.15608255 -0.33830947 8.942871 -19.383705
    Unten rechts KachelX + 1 68793 KachelY + 1 72732 0.15613048 -0.33830947 8.945618 -19.383705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33826425--0.33830947) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33826425--0.33830947) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15608255-0.15613048) × cos(-0.33826425) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.943332095279367 × 6371000     		do = 288.057803578671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15608255-0.15613048) × cos(-0.33830947) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.943317088048654 × 6371000     		du = 288.053220940235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33826425)-sin(-0.33830947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943332095279367-0.943317088048654)×R²
    abs(0.15613048-0.15608255)×1.50072307135707e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.50072307135707e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.50072307135707e-05×40589641000000     		ar = 82987.8194684308m²