Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68790 / 72726
↖ ↑ ↗
← S 19.368159°
E  8.937378°		 ← 288.14 m → S 19.368159°
E  8.940125°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
S 19.370750°
E  8.937378°		 ← 288.14 m →
83 012 m²		 S 19.370750°
E  8.940125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524829864501953 y=0.554859161376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524829864501953 × 217)
    floor (0.524829864501953 × 131072)
    floor (68790.5)     		tx = 68790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554859161376953 × 217)
    floor (0.554859161376953 × 131072)
    floor (72726.5)     		ty = 72726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68790 / 72726 ti = "17/68790/72726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68790/72726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68790 ÷ 217
    68790 ÷ 131072     		x = 0.524826049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72726 ÷ 217
    72726 ÷ 131072     		y = 0.554855346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524826049804688 × 2 - 1) × π
    0.049652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15598667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554855346679688 × 2 - 1) × π
    -0.109710693359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.344666308268204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15598667} λ = 0.15598667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.344666308268204))-π/2
    2×atan(0.708456720178657)-π/2
    2×0.616379095415449-π/2
    1.2327581908309-1.57079632675     		φ = -0.33803814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15598667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.937378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33803814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.368159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68790 KachelY 72726 0.15598667 -0.33803814 8.937378 -19.368159
    Oben rechts KachelX + 1 68791 KachelY 72726 0.15603461 -0.33803814 8.940125 -19.368159
    Unten links KachelX 68790 KachelY + 1 72727 0.15598667 -0.33808336 8.937378 -19.370750
    Unten rechts KachelX + 1 68791 KachelY + 1 72727 0.15603461 -0.33808336 8.940125 -19.370750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33803814--0.33808336) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33803814--0.33808336) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15598667-0.15603461) × cos(-0.33803814) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943407105814124 × 6371000     		do = 288.140813414515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15598667-0.15603461) × cos(-0.33808336) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.943392108228999 × 6371000     		du = 288.13623276598m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33803814)-sin(-0.33808336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943407105814124-0.943392108228999)×R²
    abs(0.15603461-0.15598667)×1.49975851245765e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49975851245765e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49975851245765e-05×40589641000000     		ar = 83011.7346083196m²