Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68790 / 44948
↖ ↑ ↗
← N 49.117029°
E  8.937378°		 ← 199.91 m → N 49.117029°
E  8.940125°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
N 49.115231°
E  8.937378°		 ← 199.91 m →
39 966 m²		 N 49.115231°
E  8.940125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68790 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524829864501953 y=0.342929840087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524829864501953 × 217)
    floor (0.524829864501953 × 131072)
    floor (68790.5)     		tx = 68790
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342929840087891 × 217)
    floor (0.342929840087891 × 131072)
    floor (44948.5)     		ty = 44948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68790 / 44948 ti = "17/68790/44948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68790/44948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68790 ÷ 217
    68790 ÷ 131072     		x = 0.524826049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44948 ÷ 217
    44948 ÷ 131072     		y = 0.342926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524826049804688 × 2 - 1) × π
    0.049652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15598667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342926025390625 × 2 - 1) × π
    0.31414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.986924889377716
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15598667} λ = 0.15598667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.986924889377716))-π/2
    2×atan(2.68297134017061)-π/2
    2×1.21402510116785-π/2
    2.4280502023357-1.57079632675     		φ = 0.85725388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15598667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.937378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85725388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.117029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68790 KachelY 44948 0.15598667 0.85725388 8.937378 49.117029
    Oben rechts KachelX + 1 68791 KachelY 44948 0.15603461 0.85725388 8.940125 49.117029
    Unten links KachelX 68790 KachelY + 1 44949 0.15598667 0.85722250 8.937378 49.115231
    Unten rechts KachelX + 1 68791 KachelY + 1 44949 0.15603461 0.85722250 8.940125 49.115231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85725388-0.85722250) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85725388-0.85722250) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15598667-0.15603461) × cos(0.85725388) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.654516132096147 × 6371000     		do = 199.906073987388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15598667-0.15603461) × cos(0.85722250) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.654539856561262 × 6371000     		du = 199.913320049702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85725388)-sin(0.85722250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654516132096147-0.654539856561262)×R²
    abs(0.15603461-0.15598667)×2.37244651151158e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.37244651151158e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.37244651151158e-05×40589641000000     		ar = 39966.3424525396m²