Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 6879 / 7913
↖ ↑ ↗
← N 79.455516°
W142.212524°		 ← 111.79 m → N 79.455516°
W142.207031°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
N 79.454511°
W142.212524°		 ← 111.80 m →
12 499 m²		 N 79.454511°
W142.207031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.104972839355469 y=0.120750427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.104972839355469 × 216)
    floor (0.104972839355469 × 65536)
    floor (6879.5)     		tx = 6879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120750427246094 × 216)
    floor (0.120750427246094 × 65536)
    floor (7913.5)     		ty = 7913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6879 / 7913 ti = "16/6879/7913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6879/7913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6879 ÷ 216
    6879 ÷ 65536     		x = 0.104965209960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7913 ÷ 216
    7913 ÷ 65536     		y = 0.120742797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.104965209960938 × 2 - 1) × π
    -0.790069580078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.48207679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120742797851562 × 2 - 1) × π
    0.758514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38294328011299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48207679} λ = -2.48207679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38294328011299))-π/2
    2×atan(10.8367515664881)-π/2
    2×1.478778348597-π/2
    2.957556697194-1.57079632675     		φ = 1.38676037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48207679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.212524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38676037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.455516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6879 KachelY 7913 -2.48207679 1.38676037 -142.212524 79.455516
    Oben rechts KachelX + 1 6880 KachelY 7913 -2.48198091 1.38676037 -142.207031 79.455516
    Unten links KachelX 6879 KachelY + 1 7914 -2.48207679 1.38674282 -142.212524 79.454511
    Unten rechts KachelX + 1 6880 KachelY + 1 7914 -2.48198091 1.38674282 -142.207031 79.454511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38676037-1.38674282) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dl = 111.811049999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38676037-1.38674282) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dr = 111.811049999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48207679--2.48198091) × cos(1.38676037) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.182998855183306 × 6371000     		do = 111.785121526955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48207679--2.48198091) × cos(1.38674282) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.183016108790489 × 6371000     		du = 111.795660918438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38676037)-sin(1.38674282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182998855183306-0.183016108790489)×R²
    abs(-2.48198091--2.48207679)×1.72536071826324e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.72536071826324e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.72536071826324e-05×40589641000000     		ar = 12499.4010226737m²