Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68789 / 69962
↖ ↑ ↗
← S 12.066181°
E  8.934631°		 ← 298.68 m → S 12.066181°
E  8.937378°		 →
↑
298.61 m
↓
↑
298.61 m
↓
S 12.068867°
E  8.934631°		 ← 298.67 m →
89 187 m²		 S 12.068867°
E  8.937378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524822235107422 y=0.533771514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524822235107422 × 217)
    floor (0.524822235107422 × 131072)
    floor (68789.5)     		tx = 68789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533771514892578 × 217)
    floor (0.533771514892578 × 131072)
    floor (69962.5)     		ty = 69962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68789 / 69962 ti = "17/68789/69962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68789/69962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68789 ÷ 217
    68789 ÷ 131072     		x = 0.524818420410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69962 ÷ 217
    69962 ÷ 131072     		y = 0.533767700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524818420410156 × 2 - 1) × π
    0.0496368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15593873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533767700195312 × 2 - 1) × π
    -0.067535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.212168717718369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15593873} λ = 0.15593873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.212168717718369))-π/2
    2×atan(0.808828222401699)-π/2
    2×0.680100870849436-π/2
    1.36020174169887-1.57079632675     		φ = -0.21059459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15593873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.934631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21059459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.066181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68789 KachelY 69962 0.15593873 -0.21059459 8.934631 -12.066181
    Oben rechts KachelX + 1 68790 KachelY 69962 0.15598667 -0.21059459 8.937378 -12.066181
    Unten links KachelX 68789 KachelY + 1 69963 0.15593873 -0.21064146 8.934631 -12.068867
    Unten rechts KachelX + 1 68790 KachelY + 1 69963 0.15598667 -0.21064146 8.937378 -12.068867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21059459--0.21064146) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dl = 298.608770000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21059459--0.21064146) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dr = 298.608770000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15593873-0.15598667) × cos(-0.21059459) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.977906793674418 × 6371000     		do = 298.677906109014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15593873-0.15598667) × cos(-0.21064146) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.977896994830324 × 6371000     		du = 298.674913289805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21059459)-sin(-0.21064146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977906793674418-0.977896994830324)×R²
    abs(0.15598667-0.15593873)×9.79884409402221e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.79884409402221e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.79884409402221e-06×40589641000000     		ar = 89187.3953447379m²