Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68788 / 69964
↖ ↑ ↗
← S 12.071553°
E  8.931885°		 ← 298.61 m → S 12.071553°
E  8.934631°		 →
↑
298.67 m
↓
↑
298.67 m
↓
S 12.074239°
E  8.931885°		 ← 298.61 m →
89 186 m²		 S 12.074239°
E  8.934631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524814605712891 y=0.533786773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524814605712891 × 217)
    floor (0.524814605712891 × 131072)
    floor (68788.5)     		tx = 68788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533786773681641 × 217)
    floor (0.533786773681641 × 131072)
    floor (69964.5)     		ty = 69964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68788 / 69964 ti = "17/68788/69964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68788/69964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68788 ÷ 217
    68788 ÷ 131072     		x = 0.524810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69964 ÷ 217
    69964 ÷ 131072     		y = 0.533782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524810791015625 × 2 - 1) × π
    0.04962158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15589080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.06756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.212264591517609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15589080} λ = 0.15589080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.212264591517609))-π/2
    2×atan(0.808750680684253)-π/2
    2×0.680053993499399-π/2
    1.3601079869988-1.57079632675     		φ = -0.21068834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15589080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.931885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21068834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.071553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68788 KachelY 69964 0.15589080 -0.21068834 8.931885 -12.071553
    Oben rechts KachelX + 1 68789 KachelY 69964 0.15593873 -0.21068834 8.934631 -12.071553
    Unten links KachelX 68788 KachelY + 1 69965 0.15589080 -0.21073522 8.931885 -12.074239
    Unten rechts KachelX + 1 68789 KachelY + 1 69965 0.15593873 -0.21073522 8.934631 -12.074239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21068834--0.21073522) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dl = 298.672479999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21068834--0.21073522) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dr = 298.672479999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15589080-0.15593873) × cos(-0.21068834) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.977887191746659 × 6371000     		do = 298.609617982769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15589080-0.15593873) × cos(-0.21073522) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.977877386513856 × 6371000     		du = 298.606623836976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21068834)-sin(-0.21073522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977887191746659-0.977877386513856)×R²
    abs(0.15593873-0.15589080)×9.8052328021403e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.8052328021403e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.8052328021403e-06×40589641000000     		ar = 89186.0280366131m²