Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68787 / 69959
↖ ↑ ↗
← S 12.058123°
E  8.929138°		 ← 298.69 m → S 12.058123°
E  8.931885°		 →
↑
298.67 m
↓
↑
298.67 m
↓
S 12.060809°
E  8.929138°		 ← 298.68 m →
89 209 m²		 S 12.060809°
E  8.931885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524806976318359 y=0.533748626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524806976318359 × 217)
    floor (0.524806976318359 × 131072)
    floor (68787.5)     		tx = 68787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533748626708984 × 217)
    floor (0.533748626708984 × 131072)
    floor (69959.5)     		ty = 69959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68787 / 69959 ti = "17/68787/69959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68787/69959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68787 ÷ 217
    68787 ÷ 131072     		x = 0.524803161621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69959 ÷ 217
    69959 ÷ 131072     		y = 0.533744812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524803161621094 × 2 - 1) × π
    0.0496063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15584286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533744812011719 × 2 - 1) × π
    -0.0674896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.212024907019508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15584286} λ = 0.15584286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.212024907019508))-π/2
    2×atan(0.808944548917918)-π/2
    2×0.680171188635942-π/2
    1.36034237727188-1.57079632675     		φ = -0.21045395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15584286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.929138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21045395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.058123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68787 KachelY 69959 0.15584286 -0.21045395 8.929138 -12.058123
    Oben rechts KachelX + 1 68788 KachelY 69959 0.15589080 -0.21045395 8.931885 -12.058123
    Unten links KachelX 68787 KachelY + 1 69960 0.15584286 -0.21050083 8.929138 -12.060809
    Unten rechts KachelX + 1 68788 KachelY + 1 69960 0.15589080 -0.21050083 8.931885 -12.060809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21045395--0.21050083) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dl = 298.672479999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21045395--0.21050083) × R
    4.68799999999991e-05 × 6371000     		dr = 298.672479999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15584286-0.15589080) × cos(-0.21045395) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.977936183584155 × 6371000     		do = 298.686882543943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15584286-0.15589080) × cos(-0.21050083) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.977926389096791 × 6371000     		du = 298.683891055393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21045395)-sin(-0.21050083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977936183584155-0.977926389096791)×R²
    abs(0.15589080-0.15584286)×9.79448736360133e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.79448736360133e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.79448736360133e-06×40589641000000     		ar = 89209.1052315316m²