Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68787 / 43909
↖ ↑ ↗
← N 50.949776°
E  8.929138°		 ← 192.42 m → N 50.949776°
E  8.931885°		 →
↑
192.40 m
↓
↑
192.40 m
↓
N 50.948045°
E  8.929138°		 ← 192.43 m →
37 023 m²		 N 50.948045°
E  8.931885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524806976318359 y=0.335002899169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524806976318359 × 217)
    floor (0.524806976318359 × 131072)
    floor (68787.5)     		tx = 68787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335002899169922 × 217)
    floor (0.335002899169922 × 131072)
    floor (43909.5)     		ty = 43909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68787 / 43909 ti = "17/68787/43909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68787/43909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68787 ÷ 217
    68787 ÷ 131072     		x = 0.524803161621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43909 ÷ 217
    43909 ÷ 131072     		y = 0.334999084472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524803161621094 × 2 - 1) × π
    0.0496063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15584286
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334999084472656 × 2 - 1) × π
    0.330001831054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03673132808295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15584286} λ = 0.15584286}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03673132808295))-π/2
    2×atan(2.81998432967841)-π/2
    2×1.2300188336121-π/2
    2.4600376672242-1.57079632675     		φ = 0.88924134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15584286} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.929138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88924134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.949776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68787 KachelY 43909 0.15584286 0.88924134 8.929138 50.949776
    Oben rechts KachelX + 1 68788 KachelY 43909 0.15589080 0.88924134 8.931885 50.949776
    Unten links KachelX 68787 KachelY + 1 43910 0.15584286 0.88921114 8.929138 50.948045
    Unten rechts KachelX + 1 68788 KachelY + 1 43910 0.15589080 0.88921114 8.931885 50.948045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88924134-0.88921114) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dl = 192.404199999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88924134-0.88921114) × R
    3.01999999999802e-05 × 6371000     		dr = 192.404199999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15584286-0.15589080) × cos(0.88924134) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630001378635367 × 6371000     		do = 192.418637270712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15584286-0.15589080) × cos(0.88921114) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.630024831487299 × 6371000     		du = 192.425800375369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88924134)-sin(0.88921114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630001378635367-0.630024831487299)×R²
    abs(0.15589080-0.15584286)×2.34528519326149e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34528519326149e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34528519326149e-05×40589641000000     		ar = 37022.8430775418m²