Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68784 / 69967
↖ ↑ ↗
← S 12.079610°
E  8.920898°		 ← 298.66 m → S 12.079610°
E  8.923645°		 →
↑
298.61 m
↓
↑
298.61 m
↓
S 12.082296°
E  8.920898°		 ← 298.66 m →
89 183 m²		 S 12.082296°
E  8.923645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 69967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524784088134766 y=0.533809661865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524784088134766 × 217)
    floor (0.524784088134766 × 131072)
    floor (68784.5)     		tx = 68784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533809661865234 × 217)
    floor (0.533809661865234 × 131072)
    floor (69967.5)     		ty = 69967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68784 / 69967 ti = "17/68784/69967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68784/69967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68784 ÷ 217
    68784 ÷ 131072     		x = 0.5247802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 69967 ÷ 217
    69967 ÷ 131072     		y = 0.533805847167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    0.049560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15569905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533805847167969 × 2 - 1) × π
    -0.0676116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.212408402216469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15569905} λ = 0.15569905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.212408402216469))-π/2
    2×atan(0.808634382046355)-π/2
    2×0.679983679236779-π/2
    1.35996735847356-1.57079632675     		φ = -0.21082897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15569905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.920898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21082897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.079610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68784 KachelY 69967 0.15569905 -0.21082897 8.920898 -12.079610
    Oben rechts KachelX + 1 68785 KachelY 69967 0.15574699 -0.21082897 8.923645 -12.079610
    Unten links KachelX 68784 KachelY + 1 69968 0.15569905 -0.21087584 8.920898 -12.082296
    Unten rechts KachelX + 1 68785 KachelY + 1 69968 0.15574699 -0.21087584 8.923645 -12.082296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21082897--0.21087584) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dl = 298.608770000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21082897--0.21087584) × R
    4.68700000000044e-05 × 6371000     		dr = 298.608770000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15569905-0.15574699) × cos(-0.21082897) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.977857771693635 × 6371000     		do = 298.662933534257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15569905-0.15574699) × cos(-0.21087584) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.977847962107176 × 6371000     		du = 298.659937434053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21082897)-sin(-0.21087584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977857771693635-0.977847962107176)×R²
    abs(0.15574699-0.15569905)×9.80958645913077e-06×R²
    4.79399999999963e-05×9.80958645913077e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×9.80958645913077e-06×40589641000000     		ar = 89182.9239126599m²