Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68779 / 72610
↖ ↑ ↗
← S 19.067309°
E  8.907166°		 ← 288.61 m → S 19.067309°
E  8.909912°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
S 19.069906°
E  8.907166°		 ← 288.60 m →
83 312 m²		 S 19.069906°
E  8.909912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524745941162109 y=0.553974151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524745941162109 × 217)
    floor (0.524745941162109 × 131072)
    floor (68779.5)     		tx = 68779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553974151611328 × 217)
    floor (0.553974151611328 × 131072)
    floor (72610.5)     		ty = 72610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68779 / 72610 ti = "17/68779/72610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68779/72610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68779 ÷ 217
    68779 ÷ 131072     		x = 0.524742126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72610 ÷ 217
    72610 ÷ 131072     		y = 0.553970336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524742126464844 × 2 - 1) × π
    0.0494842529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15545937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553970336914062 × 2 - 1) × π
    -0.107940673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.339105627912277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15545937} λ = 0.15545937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339105627912277))-π/2
    2×atan(0.712407195030095)-π/2
    2×0.619004496093912-π/2
    1.23800899218782-1.57079632675     		φ = -0.33278733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15545937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.907166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33278733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.067309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68779 KachelY 72610 0.15545937 -0.33278733 8.907166 -19.067309
    Oben rechts KachelX + 1 68780 KachelY 72610 0.15550730 -0.33278733 8.909912 -19.067309
    Unten links KachelX 68779 KachelY + 1 72611 0.15545937 -0.33283264 8.907166 -19.069906
    Unten rechts KachelX + 1 68780 KachelY + 1 72611 0.15550730 -0.33283264 8.909912 -19.069906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33278733--0.33283264) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dl = 288.670010000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33278733--0.33283264) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dr = 288.670010000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15545937-0.15550730) × cos(-0.33278733) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.945135454845852 × 6371000     		do = 288.608481116545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15545937-0.15550730) × cos(-0.33283264) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.945120652063853 × 6371000     		du = 288.603960908984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33278733)-sin(-0.33283264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945135454845852-0.945120652063853)×R²
    abs(0.15550730-0.15545937)×1.48027819995011e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.48027819995011e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.48027819995011e-05×40589641000000     		ar = 83311.9607201367m²