Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68776 / 72622
↖ ↑ ↗
← S 19.098458°
E  8.898926°		 ← 288.61 m → S 19.098458°
E  8.901672°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
S 19.101053°
E  8.898926°		 ← 288.61 m →
83 277 m²		 S 19.101053°
E  8.901672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68776 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524723052978516 y=0.554065704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524723052978516 × 217)
    floor (0.524723052978516 × 131072)
    floor (68776.5)     		tx = 68776
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554065704345703 × 217)
    floor (0.554065704345703 × 131072)
    floor (72622.5)     		ty = 72622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68776 / 72622 ti = "17/68776/72622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68776/72622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68776 ÷ 217
    68776 ÷ 131072     		x = 0.52471923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72622 ÷ 217
    72622 ÷ 131072     		y = 0.554061889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52471923828125 × 2 - 1) × π
    0.0494384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15531555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554061889648438 × 2 - 1) × π
    -0.108123779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.339680870707718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15531555} λ = 0.15531555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339680870707718))-π/2
    2×atan(0.711997505770429)-π/2
    2×0.618732680467715-π/2
    1.23746536093543-1.57079632675     		φ = -0.33333097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15531555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.898926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33333097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.098458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68776 KachelY 72622 0.15531555 -0.33333097 8.898926 -19.098458
    Oben rechts KachelX + 1 68777 KachelY 72622 0.15536349 -0.33333097 8.901672 -19.098458
    Unten links KachelX 68776 KachelY + 1 72623 0.15531555 -0.33337626 8.898926 -19.101053
    Unten rechts KachelX + 1 68777 KachelY + 1 72623 0.15536349 -0.33337626 8.901672 -19.101053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33333097--0.33337626) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dl = 288.542589999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33333097--0.33337626) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dr = 288.542589999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15531555-0.15536349) × cos(-0.33333097) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944957719582232 × 6371000     		do = 288.614410772094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15531555-0.15536349) × cos(-0.33337626) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944942900066422 × 6371000     		du = 288.609884510511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33333097)-sin(-0.33337626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944957719582232-0.944942900066422)×R²
    abs(0.15536349-0.15531555)×1.48195158101716e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48195158101716e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48195158101716e-05×40589641000000     		ar = 83276.8966000505m²