Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68775 / 43753
↖ ↑ ↗
← N 51.218927°
E  8.896179°		 ← 191.26 m → N 51.218927°
E  8.898926°		 →
↑
191.32 m
↓
↑
191.32 m
↓
N 51.217207°
E  8.896179°		 ← 191.27 m →
36 593 m²		 N 51.217207°
E  8.898926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524715423583984 y=0.333812713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524715423583984 × 217)
    floor (0.524715423583984 × 131072)
    floor (68775.5)     		tx = 68775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333812713623047 × 217)
    floor (0.333812713623047 × 131072)
    floor (43753.5)     		ty = 43753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68775 / 43753 ti = "17/68775/43753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68775/43753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68775 ÷ 217
    68775 ÷ 131072     		x = 0.524711608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43753 ÷ 217
    43753 ÷ 131072     		y = 0.333808898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524711608886719 × 2 - 1) × π
    0.0494232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15526762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333808898925781 × 2 - 1) × π
    0.332382202148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.04420948442368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15526762} λ = 0.15526762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04420948442368))-π/2
    2×atan(2.8411516610361)-π/2
    2×1.23236762244971-π/2
    2.46473524489942-1.57079632675     		φ = 0.89393892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15526762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.896179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89393892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.218927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68775 KachelY 43753 0.15526762 0.89393892 8.896179 51.218927
    Oben rechts KachelX + 1 68776 KachelY 43753 0.15531555 0.89393892 8.898926 51.218927
    Unten links KachelX 68775 KachelY + 1 43754 0.15526762 0.89390889 8.896179 51.217207
    Unten rechts KachelX + 1 68776 KachelY + 1 43754 0.15531555 0.89390889 8.898926 51.217207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89393892-0.89390889) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dl = 191.321130000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89393892-0.89390889) × R
    3.00300000000142e-05 × 6371000     		dr = 191.321130000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15526762-0.15531555) × cos(0.89393892) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.6263463283547 × 6371000     		do = 191.262386309444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15526762-0.15531555) × cos(0.89390889) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.626369737806121 × 6371000     		du = 191.269534667051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89393892)-sin(0.89390889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6263463283547-0.626369737806121)×R²
    abs(0.15531555-0.15526762)×2.340945142143e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.340945142143e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.340945142143e-05×40589641000000     		ar = 36593.2196939223m²