Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68771 / 72607
↖ ↑ ↗
← S 19.059522°
E  8.885193°		 ← 288.68 m → S 19.059522°
E  8.887940°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
S 19.062118°
E  8.885193°		 ← 288.68 m →
83 333 m²		 S 19.062118°
E  8.887940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524684906005859 y=0.553951263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524684906005859 × 217)
    floor (0.524684906005859 × 131072)
    floor (68771.5)     		tx = 68771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553951263427734 × 217)
    floor (0.553951263427734 × 131072)
    floor (72607.5)     		ty = 72607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68771 / 72607 ti = "17/68771/72607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68771/72607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68771 ÷ 217
    68771 ÷ 131072     		x = 0.524681091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72607 ÷ 217
    72607 ÷ 131072     		y = 0.553947448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524681091308594 × 2 - 1) × π
    0.0493621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15507587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553947448730469 × 2 - 1) × π
    -0.107894897460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.338961817213417
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15507587} λ = 0.15507587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.338961817213417))-π/2
    2×atan(0.712509654173869)-π/2
    2×0.619072457985143-π/2
    1.23814491597029-1.57079632675     		φ = -0.33265141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15507587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.885193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33265141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.059522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68771 KachelY 72607 0.15507587 -0.33265141 8.885193 -19.059522
    Oben rechts KachelX + 1 68772 KachelY 72607 0.15512381 -0.33265141 8.887940 -19.059522
    Unten links KachelX 68771 KachelY + 1 72608 0.15507587 -0.33269672 8.885193 -19.062118
    Unten rechts KachelX + 1 68772 KachelY + 1 72608 0.15512381 -0.33269672 8.887940 -19.062118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33265141--0.33269672) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dl = 288.670010000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33265141--0.33269672) × R
    4.53100000000206e-05 × 6371000     		dr = 288.670010000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15507587-0.15512381) × cos(-0.33265141) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94517984828407 × 6371000     		do = 288.682254595228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15507587-0.15512381) × cos(-0.33269672) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945165051322812 × 6371000     		du = 288.677735222386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33265141)-sin(-0.33269672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94517984828407-0.945165051322812)×R²
    abs(0.15512381-0.15507587)×1.47969612583898e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47969612583898e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47969612583898e-05×40589641000000     		ar = 83333.2570314475m²