Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68771 / 43713
↖ ↑ ↗
← N 51.287688°
E  8.885193°		 ← 191.02 m → N 51.287688°
E  8.887940°		 →
↑
191 m
↓
↑
191 m
↓
N 51.285970°
E  8.885193°		 ← 191.02 m →
36 485 m²		 N 51.285970°
E  8.887940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524684906005859 y=0.333507537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524684906005859 × 217)
    floor (0.524684906005859 × 131072)
    floor (68771.5)     		tx = 68771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333507537841797 × 217)
    floor (0.333507537841797 × 131072)
    floor (43713.5)     		ty = 43713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68771 / 43713 ti = "17/68771/43713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68771/43713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68771 ÷ 217
    68771 ÷ 131072     		x = 0.524681091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43713 ÷ 217
    43713 ÷ 131072     		y = 0.333503723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524681091308594 × 2 - 1) × π
    0.0493621826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15507587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333503723144531 × 2 - 1) × π
    0.332992553710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.04612696040849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15507587} λ = 0.15507587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04612696040849))-π/2
    2×atan(2.84660472750654)-π/2
    2×1.23296767574917-π/2
    2.46593535149833-1.57079632675     		φ = 0.89513902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15507587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.885193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89513902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.287688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68771 KachelY 43713 0.15507587 0.89513902 8.885193 51.287688
    Oben rechts KachelX + 1 68772 KachelY 43713 0.15512381 0.89513902 8.887940 51.287688
    Unten links KachelX 68771 KachelY + 1 43714 0.15507587 0.89510904 8.885193 51.285970
    Unten rechts KachelX + 1 68772 KachelY + 1 43714 0.15512381 0.89510904 8.887940 51.285970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89513902-0.89510904) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89513902-0.89510904) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000     		dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15507587-0.15512381) × cos(0.89513902) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625410345680418 × 6371000     		do = 191.016417633083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15507587-0.15512381) × cos(0.89510904) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.625433738674432 × 6371000     		du = 191.02356245559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89513902)-sin(0.89510904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625410345680418-0.625433738674432)×R²
    abs(0.15512381-0.15507587)×2.33929940139932e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.33929940139932e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.33929940139932e-05×40589641000000     		ar = 36485.3109326504m²