Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68770 / 43298
↖ ↑ ↗
← N 51.995028°
E  8.882446°		 ← 188.06 m → N 51.995028°
E  8.885193°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 51.993337°
E  8.882446°		 ← 188.07 m →
35 369 m²		 N 51.993337°
E  8.885193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524677276611328 y=0.330341339111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524677276611328 × 217)
    floor (0.524677276611328 × 131072)
    floor (68770.5)     		tx = 68770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330341339111328 × 217)
    floor (0.330341339111328 × 131072)
    floor (43298.5)     		ty = 43298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68770 / 43298 ti = "17/68770/43298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68770/43298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68770 ÷ 217
    68770 ÷ 131072     		x = 0.524673461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43298 ÷ 217
    43298 ÷ 131072     		y = 0.330337524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524673461914062 × 2 - 1) × π
    0.049346923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15502793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330337524414062 × 2 - 1) × π
    0.339324951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06602077375081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15502793} λ = 0.15502793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06602077375081))-π/2
    2×atan(2.90380159617097)-π/2
    2×1.2391403818108-π/2
    2.47828076362159-1.57079632675     		φ = 0.90748444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15502793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.882446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90748444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.995028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68770 KachelY 43298 0.15502793 0.90748444 8.882446 51.995028
    Oben rechts KachelX + 1 68771 KachelY 43298 0.15507587 0.90748444 8.885193 51.995028
    Unten links KachelX 68770 KachelY + 1 43299 0.15502793 0.90745492 8.882446 51.993337
    Unten rechts KachelX + 1 68771 KachelY + 1 43299 0.15507587 0.90745492 8.885193 51.993337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90748444-0.90745492) × R
    2.95199999998941e-05 × 6371000     		dl = 188.071919999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90748444-0.90745492) × R
    2.95199999998941e-05 × 6371000     		dr = 188.071919999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15502793-0.15507587) × cos(0.90748444) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615729849518147 × 6371000     		do = 188.059744929154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15502793-0.15507587) × cos(0.90745492) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615753109750215 × 6371000     		du = 188.066849202746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90748444)-sin(0.90745492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615729849518147-0.615753109750215)×R²
    abs(0.15507587-0.15502793)×2.32602320674458e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32602320674458e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32602320674458e-05×40589641000000     		ar = 35369.4253631182m²