Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68769 / 44445
↖ ↑ ↗
← N 50.013034°
E  8.879700°		 ← 196.23 m → N 50.013034°
E  8.882446°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
N 50.011269°
E  8.879700°		 ← 196.24 m →
38 519 m²		 N 50.011269°
E  8.882446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524669647216797 y=0.339092254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524669647216797 × 217)
    floor (0.524669647216797 × 131072)
    floor (68769.5)     		tx = 68769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339092254638672 × 217)
    floor (0.339092254638672 × 131072)
    floor (44445.5)     		ty = 44445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68769 / 44445 ti = "17/68769/44445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68769/44445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68769 ÷ 217
    68769 ÷ 131072     		x = 0.524665832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44445 ÷ 217
    44445 ÷ 131072     		y = 0.339088439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524665832519531 × 2 - 1) × π
    0.0493316650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15498000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339088439941406 × 2 - 1) × π
    0.321823120117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.0110371498866
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15498000} λ = 0.15498000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0110371498866))-π/2
    2×atan(2.74845009200285)-π/2
    2×1.22184422191129-π/2
    2.44368844382258-1.57079632675     		φ = 0.87289212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15498000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.879700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87289212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.013034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68769 KachelY 44445 0.15498000 0.87289212 8.879700 50.013034
    Oben rechts KachelX + 1 68770 KachelY 44445 0.15502793 0.87289212 8.882446 50.013034
    Unten links KachelX 68769 KachelY + 1 44446 0.15498000 0.87286131 8.879700 50.011269
    Unten rechts KachelX + 1 68770 KachelY + 1 44446 0.15502793 0.87286131 8.882446 50.011269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87289212-0.87286131) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dl = 196.290510000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87289212-0.87286131) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dr = 196.290510000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15498000-0.15502793) × cos(0.87289212) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.642613322538067 × 6371000     		do = 196.229708675275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15498000-0.15502793) × cos(0.87286131) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.642636928567099 × 6371000     		du = 196.236917060221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87289212)-sin(0.87286131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642613322538067-0.642636928567099)×R²
    abs(0.15502793-0.15498000)×2.36060290320639e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.36060290320639e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.36060290320639e-05×40589641000000     		ar = 38518.7370648808m²