Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68768 / 72616
↖ ↑ ↗
← S 19.082884°
E  8.876953°		 ← 288.64 m → S 19.082884°
E  8.879700°		 →
↑
288.67 m
↓
↑
288.67 m
↓
S 19.085480°
E  8.876953°		 ← 288.64 m →
83 322 m²		 S 19.085480°
E  8.879700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524662017822266 y=0.554019927978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524662017822266 × 217)
    floor (0.524662017822266 × 131072)
    floor (68768.5)     		tx = 68768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554019927978516 × 217)
    floor (0.554019927978516 × 131072)
    floor (72616.5)     		ty = 72616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68768 / 72616 ti = "17/68768/72616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68768/72616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68768 ÷ 217
    68768 ÷ 131072     		x = 0.524658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72616 ÷ 217
    72616 ÷ 131072     		y = 0.55401611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524658203125 × 2 - 1) × π
    0.04931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15493206
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55401611328125 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.339393249309998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15493206} λ = 0.15493206}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339393249309998))-π/2
    2×atan(0.712202320941412)-π/2
    2×0.618868581890858-π/2
    1.23773716378172-1.57079632675     		φ = -0.33305916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15493206} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.876953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33305916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.082884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68768 KachelY 72616 0.15493206 -0.33305916 8.876953 -19.082884
    Oben rechts KachelX + 1 68769 KachelY 72616 0.15498000 -0.33305916 8.879700 -19.082884
    Unten links KachelX 68768 KachelY + 1 72617 0.15493206 -0.33310447 8.876953 -19.085480
    Unten rechts KachelX + 1 68769 KachelY + 1 72617 0.15498000 -0.33310447 8.879700 -19.085480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33305916--0.33310447) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dl = 288.670009999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33305916--0.33310447) × R
    4.53099999999651e-05 × 6371000     		dr = 288.670009999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15493206-0.15498000) × cos(-0.33305916) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945046618857596 × 6371000     		do = 288.641562899057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15493206-0.15498000) × cos(-0.33310447) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945031804435363 × 6371000     		du = 288.637038193184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33305916)-sin(-0.33310447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945046618857596-0.945031804435363)×R²
    abs(0.15498000-0.15493206)×1.48144222329449e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.48144222329449e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.48144222329449e-05×40589641000000     		ar = 83321.5097892729m²