Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68767 / 72618
↖ ↑ ↗
← S 19.088076°
E  8.874206°		 ← 288.63 m → S 19.088076°
E  8.876953°		 →
↑
288.61 m
↓
↑
288.61 m
↓
S 19.090671°
E  8.874206°		 ← 288.63 m →
83 301 m²		 S 19.090671°
E  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524654388427734 y=0.554035186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524654388427734 × 217)
    floor (0.524654388427734 × 131072)
    floor (68767.5)     		tx = 68767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554035186767578 × 217)
    floor (0.554035186767578 × 131072)
    floor (72618.5)     		ty = 72618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68767 / 72618 ti = "17/68767/72618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68767/72618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68767 ÷ 217
    68767 ÷ 131072     		x = 0.524650573730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72618 ÷ 217
    72618 ÷ 131072     		y = 0.554031372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524650573730469 × 2 - 1) × π
    0.0493011474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15488412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554031372070312 × 2 - 1) × π
    -0.108062744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.339489123109238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15488412} λ = 0.15488412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.339489123109238))-π/2
    2×atan(0.712134042672177)-π/2
    2×0.618823279996051-π/2
    1.2376465599921-1.57079632675     		φ = -0.33314977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15488412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.874206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33314977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.088076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68767 KachelY 72618 0.15488412 -0.33314977 8.874206 -19.088076
    Oben rechts KachelX + 1 68768 KachelY 72618 0.15493206 -0.33314977 8.876953 -19.088076
    Unten links KachelX 68767 KachelY + 1 72619 0.15488412 -0.33319507 8.874206 -19.090671
    Unten rechts KachelX + 1 68768 KachelY + 1 72619 0.15493206 -0.33319507 8.876953 -19.090671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33314977--0.33319507) × R
    4.52999999999704e-05 × 6371000     		dl = 288.606299999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33314977--0.33319507) × R
    4.52999999999704e-05 × 6371000     		dr = 288.606299999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15488412-0.15493206) × cos(-0.33314977) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.945016991343196 × 6371000     		do = 288.632513893714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15488412-0.15493206) × cos(-0.33319507) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.945002176311769 × 6371000     		du = 288.627989001778m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33314977)-sin(-0.33319507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945016991343196-0.945002176311769)×R²
    abs(0.15493206-0.15488412)×1.48150314270845e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.48150314270845e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.48150314270845e-05×40589641000000     		ar = 83300.5089525361m²