Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68767 / 44672
↖ ↑ ↗
← N 49.610710°
E  8.874206°		 ← 197.91 m → N 49.610710°
E  8.876953°		 →
↑
197.88 m
↓
↑
197.88 m
↓
N 49.608930°
E  8.874206°		 ← 197.92 m →
39 164 m²		 N 49.608930°
E  8.876953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524654388427734 y=0.340824127197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524654388427734 × 217)
    floor (0.524654388427734 × 131072)
    floor (68767.5)     		tx = 68767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340824127197266 × 217)
    floor (0.340824127197266 × 131072)
    floor (44672.5)     		ty = 44672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68767 / 44672 ti = "17/68767/44672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68767/44672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68767 ÷ 217
    68767 ÷ 131072     		x = 0.524650573730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44672 ÷ 217
    44672 ÷ 131072     		y = 0.3408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524650573730469 × 2 - 1) × π
    0.0493011474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15488412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    0.318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00015547367285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15488412} λ = 0.15488412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00015547367285))-π/2
    2×atan(2.7187044825737)-π/2
    2×1.21833327972382-π/2
    2.43666655944764-1.57079632675     		φ = 0.86587023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15488412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.874206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86587023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.610710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68767 KachelY 44672 0.15488412 0.86587023 8.874206 49.610710
    Oben rechts KachelX + 1 68768 KachelY 44672 0.15493206 0.86587023 8.876953 49.610710
    Unten links KachelX 68767 KachelY + 1 44673 0.15488412 0.86583917 8.874206 49.608930
    Unten rechts KachelX + 1 68768 KachelY + 1 44673 0.15493206 0.86583917 8.876953 49.608930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86587023-0.86583917) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dl = 197.883259999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86587023-0.86583917) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dr = 197.883259999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15488412-0.15493206) × cos(0.86587023) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.647977542231262 × 6371000     		do = 197.909020339464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15488412-0.15493206) × cos(0.86583917) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64800119906095 × 6371000     		du = 197.916245744177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86587023)-sin(0.86583917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647977542231262-0.64800119906095)×R²
    abs(0.15493206-0.15488412)×2.36568296883011e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36568296883011e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36568296883011e-05×40589641000000     		ar = 39163.5970247708m²