Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68766 / 43277
↖ ↑ ↗
← N 52.030528°
E  8.871460°		 ← 187.87 m → N 52.030528°
E  8.874206°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 52.028839°
E  8.871460°		 ← 187.88 m →
35 298 m²		 N 52.028839°
E  8.874206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524646759033203 y=0.330181121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524646759033203 × 217)
    floor (0.524646759033203 × 131072)
    floor (68766.5)     		tx = 68766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330181121826172 × 217)
    floor (0.330181121826172 × 131072)
    floor (43277.5)     		ty = 43277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68766 / 43277 ti = "17/68766/43277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68766/43277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68766 ÷ 217
    68766 ÷ 131072     		x = 0.524642944335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43277 ÷ 217
    43277 ÷ 131072     		y = 0.330177307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524642944335938 × 2 - 1) × π
    0.049285888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15483619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330177307128906 × 2 - 1) × π
    0.339645385742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.06702744864283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15483619} λ = 0.15483619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06702744864283))-π/2
    2×atan(2.90672625217115)-π/2
    2×1.23945017879777-π/2
    2.47890035759554-1.57079632675     		φ = 0.90810403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15483619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.871460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90810403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.030528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68766 KachelY 43277 0.15483619 0.90810403 8.871460 52.030528
    Oben rechts KachelX + 1 68767 KachelY 43277 0.15488412 0.90810403 8.874206 52.030528
    Unten links KachelX 68766 KachelY + 1 43278 0.15483619 0.90807454 8.871460 52.028839
    Unten rechts KachelX + 1 68767 KachelY + 1 43278 0.15488412 0.90807454 8.874206 52.028839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90810403-0.90807454) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dl = 187.880789999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90810403-0.90807454) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dr = 187.880789999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15483619-0.15488412) × cos(0.90810403) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615241520881068 × 6371000     		do = 187.871399756428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15483619-0.15488412) × cos(0.90807454) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.615264768721149 × 6371000     		du = 187.878498764068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90810403)-sin(0.90807454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615241520881068-0.615264768721149)×R²
    abs(0.15488412-0.15483619)×2.32478400806757e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.32478400806757e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.32478400806757e-05×40589641000000     		ar = 35298.0938906984m²