Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68763 / 44085
↖ ↑ ↗
← N 50.644236°
E  8.863220°		 ← 193.64 m → N 50.644236°
E  8.865967°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 50.642494°
E  8.863220°		 ← 193.65 m →
37 505 m²		 N 50.642494°
E  8.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524623870849609 y=0.336345672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524623870849609 × 217)
    floor (0.524623870849609 × 131072)
    floor (68763.5)     		tx = 68763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336345672607422 × 217)
    floor (0.336345672607422 × 131072)
    floor (44085.5)     		ty = 44085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68763 / 44085 ti = "17/68763/44085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68763/44085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68763 ÷ 217
    68763 ÷ 131072     		x = 0.524620056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44085 ÷ 217
    44085 ÷ 131072     		y = 0.336341857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524620056152344 × 2 - 1) × π
    0.0492401123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15469238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336341857910156 × 2 - 1) × π
    0.327316284179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.02829443374982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15469238} λ = 0.15469238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02829443374982))-π/2
    2×atan(2.79629250312064)-π/2
    2×1.22735249321031-π/2
    2.45470498642062-1.57079632675     		φ = 0.88390866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15469238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.863220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88390866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.644236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68763 KachelY 44085 0.15469238 0.88390866 8.863220 50.644236
    Oben rechts KachelX + 1 68764 KachelY 44085 0.15474031 0.88390866 8.865967 50.644236
    Unten links KachelX 68763 KachelY + 1 44086 0.15469238 0.88387826 8.863220 50.642494
    Unten rechts KachelX + 1 68764 KachelY + 1 44086 0.15474031 0.88387826 8.865967 50.642494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88390866-0.88387826) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88390866-0.88387826) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15469238-0.15474031) × cos(0.88390866) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.63413372857167 × 6371000     		do = 193.640362648121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15469238-0.15474031) × cos(0.88387826) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.63415723426977 × 6371000     		du = 193.647540395809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88390866)-sin(0.88387826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63413372857167-0.63415723426977)×R²
    abs(0.15474031-0.15469238)×2.35056980995019e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35056980995019e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35056980995019e-05×40589641000000     		ar = 37504.6507033541m²