Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68763 / 43275
↖ ↑ ↗
← N 52.033908°
E  8.863220°		 ← 187.86 m → N 52.033908°
E  8.865967°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
N 52.032218°
E  8.863220°		 ← 187.86 m →
35 295 m²		 N 52.032218°
E  8.865967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68763 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524623870849609 y=0.330165863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524623870849609 × 217)
    floor (0.524623870849609 × 131072)
    floor (68763.5)     		tx = 68763
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330165863037109 × 217)
    floor (0.330165863037109 × 131072)
    floor (43275.5)     		ty = 43275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68763 / 43275 ti = "17/68763/43275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68763/43275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68763 ÷ 217
    68763 ÷ 131072     		x = 0.524620056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43275 ÷ 217
    43275 ÷ 131072     		y = 0.330162048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524620056152344 × 2 - 1) × π
    0.0492401123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15469238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330162048339844 × 2 - 1) × π
    0.339675903320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.06712332244207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15469238} λ = 0.15469238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06712332244207))-π/2
    2×atan(2.90700494441972)-π/2
    2×1.23947967045423-π/2
    2.47895934090847-1.57079632675     		φ = 0.90816301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15469238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.863220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90816301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.033908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68763 KachelY 43275 0.15469238 0.90816301 8.863220 52.033908
    Oben rechts KachelX + 1 68764 KachelY 43275 0.15474031 0.90816301 8.865967 52.033908
    Unten links KachelX 68763 KachelY + 1 43276 0.15469238 0.90813352 8.863220 52.032218
    Unten rechts KachelX + 1 68764 KachelY + 1 43276 0.15474031 0.90813352 8.865967 52.032218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90816301-0.90813352) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dl = 187.880789999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90816301-0.90813352) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dr = 187.880789999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15469238-0.15474031) × cos(0.90816301) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.615195023595774 × 6371000     		do = 187.85720125111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15469238-0.15474031) × cos(0.90813352) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.615218272505936 × 6371000     		du = 187.864300585512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90816301)-sin(0.90813352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615195023595774-0.615218272505936)×R²
    abs(0.15474031-0.15469238)×2.32489101624767e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.32489101624767e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.32489101624767e-05×40589641000000     		ar = 35295.426295004m²