Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68753 / 70002
↖ ↑ ↗
← S 12.173595°
E  8.835755°		 ← 298.50 m → S 12.173595°
E  8.838501°		 →
↑
298.55 m
↓
↑
298.55 m
↓
S 12.176280°
E  8.835755°		 ← 298.49 m →
89 114 m²		 S 12.176280°
E  8.838501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524547576904297 y=0.534076690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524547576904297 × 217)
    floor (0.524547576904297 × 131072)
    floor (68753.5)     		tx = 68753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534076690673828 × 217)
    floor (0.534076690673828 × 131072)
    floor (70002.5)     		ty = 70002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68753 / 70002 ti = "17/68753/70002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68753/70002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68753 ÷ 217
    68753 ÷ 131072     		x = 0.524543762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70002 ÷ 217
    70002 ÷ 131072     		y = 0.534072875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524543762207031 × 2 - 1) × π
    0.0490875244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15421301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534072875976562 × 2 - 1) × π
    -0.068145751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.214086193703171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15421301} λ = 0.15421301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.214086193703171))-π/2
    2×atan(0.80727879967458)-π/2
    2×0.679163502877594-π/2
    1.35832700575519-1.57079632675     		φ = -0.21246932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15421301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.835755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21246932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.173595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68753 KachelY 70002 0.15421301 -0.21246932 8.835755 -12.173595
    Oben rechts KachelX + 1 68754 KachelY 70002 0.15426094 -0.21246932 8.838501 -12.173595
    Unten links KachelX 68753 KachelY + 1 70003 0.15421301 -0.21251618 8.835755 -12.176280
    Unten rechts KachelX + 1 68754 KachelY + 1 70003 0.15426094 -0.21251618 8.838501 -12.176280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21246932--0.21251618) × R
    4.68600000000097e-05 × 6371000     		dl = 298.545060000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21246932--0.21251618) × R
    4.68600000000097e-05 × 6371000     		dr = 298.545060000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15421301-0.15426094) × cos(-0.21246932) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.977513179256969 × 6371000     		do = 298.495408769672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15421301-0.15426094) × cos(-0.21251618) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.97750329661248 × 6371000     		du = 298.492390985289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21246932)-sin(-0.21251618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977513179256969-0.97750329661248)×R²
    abs(0.15426094-0.15421301)×9.88264448842369e-06×R²
    4.79300000000016e-05×9.88264448842369e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×9.88264448842369e-06×40589641000000     		ar = 89113.8792648867m²