Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68752 / 70001
↖ ↑ ↗
← S 12.170910°
E  8.833008°		 ← 298.56 m → S 12.170910°
E  8.835755°		 →
↑
298.55 m
↓
↑
298.55 m
↓
S 12.173595°
E  8.833008°		 ← 298.56 m →
89 133 m²		 S 12.173595°
E  8.835755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524539947509766 y=0.534069061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524539947509766 × 217)
    floor (0.524539947509766 × 131072)
    floor (68752.5)     		tx = 68752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534069061279297 × 217)
    floor (0.534069061279297 × 131072)
    floor (70001.5)     		ty = 70001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68752 / 70001 ti = "17/68752/70001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68752/70001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68752 ÷ 217
    68752 ÷ 131072     		x = 0.5245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70001 ÷ 217
    70001 ÷ 131072     		y = 0.534065246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5245361328125 × 2 - 1) × π
    0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534065246582031 × 2 - 1) × π
    -0.0681304931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.214038256803551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15416507} λ = 0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.214038256803551))-π/2
    2×atan(0.807317499044922)-π/2
    2×0.679186932471576-π/2
    1.35837386494315-1.57079632675     		φ = -0.21242246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21242246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.170910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68752 KachelY 70001 0.15416507 -0.21242246 8.833008 -12.170910
    Oben rechts KachelX + 1 68753 KachelY 70001 0.15421301 -0.21242246 8.835755 -12.170910
    Unten links KachelX 68752 KachelY + 1 70002 0.15416507 -0.21246932 8.833008 -12.173595
    Unten rechts KachelX + 1 68753 KachelY + 1 70002 0.15421301 -0.21246932 8.835755 -12.173595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21242246--0.21246932) × R
    4.68599999999819e-05 × 6371000     		dl = 298.545059999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21242246--0.21246932) × R
    4.68599999999819e-05 × 6371000     		dr = 298.545059999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15416507-0.15421301) × cos(-0.21242246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977523059754975 × 6371000     		do = 298.560703892877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15416507-0.15421301) × cos(-0.21246932) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977513179256969 × 6371000     		du = 298.557686134462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21242246)-sin(-0.21246932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977523059754975-0.977513179256969)×R²
    abs(0.15421301-0.15416507)×9.88049800665358e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.88049800665358e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.88049800665358e-06×40589641000000     		ar = 89133.3728051927m²