Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68752 / 70000
↖ ↑ ↗
← S 12.168226°
E  8.833008°		 ← 298.56 m → S 12.168226°
E  8.835755°		 →
↑
298.55 m
↓
↑
298.55 m
↓
S 12.170910°
E  8.833008°		 ← 298.56 m →
89 134 m²		 S 12.170910°
E  8.835755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 70000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524539947509766 y=0.534061431884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524539947509766 × 217)
    floor (0.524539947509766 × 131072)
    floor (68752.5)     		tx = 68752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534061431884766 × 217)
    floor (0.534061431884766 × 131072)
    floor (70000.5)     		ty = 70000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68752 / 70000 ti = "17/68752/70000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68752/70000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68752 ÷ 217
    68752 ÷ 131072     		x = 0.5245361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 70000 ÷ 217
    70000 ÷ 131072     		y = 0.5340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5245361328125 × 2 - 1) × π
    0.049072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15416507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5340576171875 × 2 - 1) × π
    -0.068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.213990319903931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15416507} λ = 0.15416507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.213990319903931))-π/2
    2×atan(0.807356200270436)-π/2
    2×0.67921036230235-π/2
    1.3584207246047-1.57079632675     		φ = -0.21237560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15416507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.833008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21237560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.168226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68752 KachelY 70000 0.15416507 -0.21237560 8.833008 -12.168226
    Oben rechts KachelX + 1 68753 KachelY 70000 0.15421301 -0.21237560 8.835755 -12.168226
    Unten links KachelX 68752 KachelY + 1 70001 0.15416507 -0.21242246 8.833008 -12.170910
    Unten rechts KachelX + 1 68753 KachelY + 1 70001 0.15421301 -0.21242246 8.835755 -12.170910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21237560--0.21242246) × R
    4.68600000000097e-05 × 6371000     		dl = 298.545060000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21237560--0.21242246) × R
    4.68600000000097e-05 × 6371000     		dr = 298.545060000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15416507-0.15421301) × cos(-0.21237560) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977532938106478 × 6371000     		do = 298.563720995695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15416507-0.15421301) × cos(-0.21242246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.977523059754975 × 6371000     		du = 298.560703892877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21237560)-sin(-0.21242246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.977532938106478-0.977523059754975)×R²
    abs(0.15421301-0.15416507)×9.87835150323413e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.87835150323413e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.87835150323413e-06×40589641000000     		ar = 89134.2736442533m²