Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 68751 / 43301
↖ ↑ ↗
← N 51.989954°
E  8.830261°		 ← 188.08 m → N 51.989954°
E  8.833008°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 51.988263°
E  8.830261°		 ← 188.09 m →
35 373 m²		 N 51.988263°
E  8.833008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524532318115234 y=0.330364227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524532318115234 × 217)
    floor (0.524532318115234 × 131072)
    floor (68751.5)     		tx = 68751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330364227294922 × 217)
    floor (0.330364227294922 × 131072)
    floor (43301.5)     		ty = 43301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68751 / 43301 ti = "17/68751/43301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68751/43301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68751 ÷ 217
    68751 ÷ 131072     		x = 0.524528503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43301 ÷ 217
    43301 ÷ 131072     		y = 0.330360412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524528503417969 × 2 - 1) × π
    0.0490570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15411713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330360412597656 × 2 - 1) × π
    0.339279174804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.06587696305195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15411713} λ = 0.15411713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06587696305195))-π/2
    2×atan(2.90338402846015)-π/2
    2×1.23909610503209-π/2
    2.47819221006418-1.57079632675     		φ = 0.90739588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15411713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.830261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90739588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.989954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68751 KachelY 43301 0.15411713 0.90739588 8.830261 51.989954
    Oben rechts KachelX + 1 68752 KachelY 43301 0.15416507 0.90739588 8.833008 51.989954
    Unten links KachelX 68751 KachelY + 1 43302 0.15411713 0.90736636 8.830261 51.988263
    Unten rechts KachelX + 1 68752 KachelY + 1 43302 0.15416507 0.90736636 8.833008 51.988263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90739588-0.90736636) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90739588-0.90736636) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15411713-0.15416507) × cos(0.90739588) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.615799628604572 × 6371000     		do = 188.081057258262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15411713-0.15416507) × cos(0.90736636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.61582288722682 × 6371000     		du = 188.088161040174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90739588)-sin(0.90736636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615799628604572-0.61582288722682)×R²
    abs(0.15416507-0.15411713)×2.3258622248834e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.3258622248834e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.3258622248834e-05×40589641000000     		ar = 35373.433567699m²