Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6875 / 5382
↖ ↑ ↗
← N 52.402419°
W 28.937988°		 ← 1 490.63 m → N 52.402419°
W 28.916016°		 →
↑
1 490.94 m
↓
↑
1 490.94 m
↓
N 52.389011°
W 28.937988°		 ← 1 491.09 m →
2 222 786 m²		 N 52.389011°
W 28.916016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419647216796875 y=0.328521728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419647216796875 × 214)
    floor (0.419647216796875 × 16384)
    floor (6875.5)     		tx = 6875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328521728515625 × 214)
    floor (0.328521728515625 × 16384)
    floor (5382.5)     		ty = 5382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6875 / 5382 ti = "14/6875/5382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6875/5382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6875 ÷ 214
    6875 ÷ 16384     		x = 0.41961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5382 ÷ 214
    5382 ÷ 16384     		y = 0.3284912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41961669921875 × 2 - 1) × π
    -0.1607666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50506317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3284912109375 × 2 - 1) × π
    0.343017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07762150345886
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50506317} λ = -0.50506317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07762150345886))-π/2
    2×atan(2.93768396372668)-π/2
    2×1.24269553606808-π/2
    2.48539107213616-1.57079632675     		φ = 0.91459475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50506317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.937988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91459475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.402419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6875 KachelY 5382 -0.50506317 0.91459475 -28.937988 52.402419
    Oben rechts KachelX + 1 6876 KachelY 5382 -0.50467968 0.91459475 -28.916016 52.402419
    Unten links KachelX 6875 KachelY + 1 5383 -0.50506317 0.91436073 -28.937988 52.389011
    Unten rechts KachelX + 1 6876 KachelY + 1 5383 -0.50467968 0.91436073 -28.916016 52.389011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91459475-0.91436073) × R
    0.000234020000000057 × 6371000     		dl = 1490.94142000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91459475-0.91436073) × R
    0.000234020000000057 × 6371000     		dr = 1490.94142000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50506317--0.50467968) × cos(0.91459475) × R
    0.000383490000000042 × 0.610111711339781 × 6371000     		do = 1490.63395669773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50506317--0.50467968) × cos(0.91436073) × R
    0.000383490000000042 × 0.610297112282479 × 6371000     		du = 1491.08693102301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91459475)-sin(0.91436073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610111711339781-0.610297112282479)×R²
    abs(-0.50467968--0.50506317)×0.000185400942697811×R²
    0.000383490000000042×0.000185400942697811×6371000²
    0.000383490000000042×0.000185400942697811×40589641000000     		ar = 2222785.59733553m²