Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68747 / 43883
↖ ↑ ↗
← N 50.994743°
E  8.819275°		 ← 192.23 m → N 50.994743°
E  8.822021°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
N 50.993015°
E  8.819275°		 ← 192.24 m →
36 950 m²		 N 50.993015°
E  8.822021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524501800537109 y=0.334804534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524501800537109 × 217)
    floor (0.524501800537109 × 131072)
    floor (68747.5)     		tx = 68747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334804534912109 × 217)
    floor (0.334804534912109 × 131072)
    floor (43883.5)     		ty = 43883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68747 / 43883 ti = "17/68747/43883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68747/43883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68747 ÷ 217
    68747 ÷ 131072     		x = 0.524497985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43883 ÷ 217
    43883 ÷ 131072     		y = 0.334800720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524497985839844 × 2 - 1) × π
    0.0489959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15392538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334800720214844 × 2 - 1) × π
    0.330398559570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.03797768747308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15392538} λ = 0.15392538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03797768747308))-π/2
    2×atan(2.82350123483632)-π/2
    2×1.23041124769618-π/2
    2.46082249539236-1.57079632675     		φ = 0.89002617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15392538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.819275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89002617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.994743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68747 KachelY 43883 0.15392538 0.89002617 8.819275 50.994743
    Oben rechts KachelX + 1 68748 KachelY 43883 0.15397332 0.89002617 8.822021 50.994743
    Unten links KachelX 68747 KachelY + 1 43884 0.15392538 0.88999600 8.819275 50.993015
    Unten rechts KachelX + 1 68748 KachelY + 1 43884 0.15397332 0.88999600 8.822021 50.993015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89002617-0.88999600) × R
    3.01699999999405e-05 × 6371000     		dl = 192.213069999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89002617-0.88999600) × R
    3.01699999999405e-05 × 6371000     		dr = 192.213069999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15392538-0.15397332) × cos(0.89002617) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629391690390534 × 6371000     		do = 192.232422787365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15392538-0.15397332) × cos(0.88999600) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.629415134855652 × 6371000     		du = 192.239583330472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89002617)-sin(0.88999600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629391690390534-0.629415134855652)×R²
    abs(0.15397332-0.15392538)×2.34444651175947e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34444651175947e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34444651175947e-05×40589641000000     		ar = 36950.2723151514m²