Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68745 / 43319
↖ ↑ ↗
← N 51.959500°
E  8.813782°		 ← 188.21 m → N 51.959500°
E  8.816528°		 →
↑
188.20 m
↓
↑
188.20 m
↓
N 51.957807°
E  8.813782°		 ← 188.22 m →
35 421 m²		 N 51.957807°
E  8.816528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68745 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524486541748047 y=0.330501556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524486541748047 × 217)
    floor (0.524486541748047 × 131072)
    floor (68745.5)     		tx = 68745
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330501556396484 × 217)
    floor (0.330501556396484 × 131072)
    floor (43319.5)     		ty = 43319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68745 / 43319 ti = "17/68745/43319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68745/43319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68745 ÷ 217
    68745 ÷ 131072     		x = 0.524482727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43319 ÷ 217
    43319 ÷ 131072     		y = 0.330497741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524482727050781 × 2 - 1) × π
    0.0489654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15382951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330497741699219 × 2 - 1) × π
    0.339004516601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.06501409885879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15382951} λ = 0.15382951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06501409885879))-π/2
    2×atan(2.90087988286715)-π/2
    2×1.23883033899017-π/2
    2.47766067798033-1.57079632675     		φ = 0.90686435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15382951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.813782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90686435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.959500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68745 KachelY 43319 0.15382951 0.90686435 8.813782 51.959500
    Oben rechts KachelX + 1 68746 KachelY 43319 0.15387745 0.90686435 8.816528 51.959500
    Unten links KachelX 68745 KachelY + 1 43320 0.15382951 0.90683481 8.813782 51.957807
    Unten rechts KachelX + 1 68746 KachelY + 1 43320 0.15387745 0.90683481 8.816528 51.957807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90686435-0.90683481) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dl = 188.199339999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90686435-0.90683481) × R
    2.95399999999946e-05 × 6371000     		dr = 188.199339999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15382951-0.15387745) × cos(0.90686435) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.616218335569376 × 6371000     		do = 188.20894114283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15382951-0.15387745) × cos(0.90683481) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.616241600276933 × 6371000     		du = 188.216046783352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90686435)-sin(0.90683481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.616218335569376-0.616241600276933)×R²
    abs(0.15387745-0.15382951)×2.32647075569803e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.32647075569803e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.32647075569803e-05×40589641000000     		ar = 35421.4671461581m²