Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68744 / 44680
↖ ↑ ↗
← N 49.596470°
E  8.811035°		 ← 197.97 m → N 49.596470°
E  8.813782°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
N 49.594690°
E  8.811035°		 ← 197.97 m →
39 188 m²		 N 49.594690°
E  8.813782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524478912353516 y=0.340885162353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524478912353516 × 217)
    floor (0.524478912353516 × 131072)
    floor (68744.5)     		tx = 68744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340885162353516 × 217)
    floor (0.340885162353516 × 131072)
    floor (44680.5)     		ty = 44680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68744 / 44680 ti = "17/68744/44680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68744/44680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68744 ÷ 217
    68744 ÷ 131072     		x = 0.52447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44680 ÷ 217
    44680 ÷ 131072     		y = 0.34088134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52447509765625 × 2 - 1) × π
    0.0489501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15378157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34088134765625 × 2 - 1) × π
    0.3182373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.999771978475891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15378157} λ = 0.15378157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999771978475891))-π/2
    2×atan(2.71766207235511)-π/2
    2×1.21820901344014-π/2
    2.43641802688028-1.57079632675     		φ = 0.86562170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15378157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86562170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.596470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68744 KachelY 44680 0.15378157 0.86562170 8.811035 49.596470
    Oben rechts KachelX + 1 68745 KachelY 44680 0.15382951 0.86562170 8.813782 49.596470
    Unten links KachelX 68744 KachelY + 1 44681 0.15378157 0.86559063 8.811035 49.594690
    Unten rechts KachelX + 1 68745 KachelY + 1 44681 0.15382951 0.86559063 8.813782 49.594690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86562170-0.86559063) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dl = 197.94697000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86562170-0.86559063) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dr = 197.94697000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15378157-0.15382951) × cos(0.86562170) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.648166817438432 × 6371000     		do = 197.966829859563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15378157-0.15382951) × cos(0.86559063) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.648190476880121 × 6371000     		du = 197.974056062049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86562170)-sin(0.86559063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648166817438432-0.648190476880121)×R²
    abs(0.15382951-0.15378157)×2.36594416888058e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.36594416888058e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.36594416888058e-05×40589641000000     		ar = 39187.6493367758m²