Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68744 / 43832
↖ ↑ ↗
← N 51.082822°
E  8.811035°		 ← 191.87 m → N 51.082822°
E  8.813782°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 51.081097°
E  8.811035°		 ← 191.87 m →
36 807 m²		 N 51.081097°
E  8.813782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524478912353516 y=0.334415435791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524478912353516 × 217)
    floor (0.524478912353516 × 131072)
    floor (68744.5)     		tx = 68744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334415435791016 × 217)
    floor (0.334415435791016 × 131072)
    floor (43832.5)     		ty = 43832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68744 / 43832 ti = "17/68744/43832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68744/43832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68744 ÷ 217
    68744 ÷ 131072     		x = 0.52447509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43832 ÷ 217
    43832 ÷ 131072     		y = 0.33441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52447509765625 × 2 - 1) × π
    0.0489501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15378157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33441162109375 × 2 - 1) × π
    0.3311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0404224693537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15378157} λ = 0.15378157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0404224693537))-π/2
    2×atan(2.83041252435047)-π/2
    2×1.23117987973552-π/2
    2.46235975947105-1.57079632675     		φ = 0.89156343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15378157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.811035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89156343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.082822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68744 KachelY 43832 0.15378157 0.89156343 8.811035 51.082822
    Oben rechts KachelX + 1 68745 KachelY 43832 0.15382951 0.89156343 8.813782 51.082822
    Unten links KachelX 68744 KachelY + 1 43833 0.15378157 0.89153332 8.811035 51.081097
    Unten rechts KachelX + 1 68745 KachelY + 1 43833 0.15382951 0.89153332 8.813782 51.081097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89156343-0.89153332) × R
    3.01100000000831e-05 × 6371000     		dl = 191.83081000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89156343-0.89153332) × R
    3.01100000000831e-05 × 6371000     		dr = 191.83081000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15378157-0.15382951) × cos(0.89156343) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628196360546435 × 6371000     		do = 191.867338285187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15378157-0.15382951) × cos(0.89153332) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628219787492871 × 6371000     		du = 191.874493477638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89156343)-sin(0.89153332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628196360546435-0.628219787492871)×R²
    abs(0.15382951-0.15378157)×2.34269464356451e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34269464356451e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34269464356451e-05×40589641000000     		ar = 36806.7532118816m²