Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68743 / 43933
↖ ↑ ↗
← N 50.908229°
E  8.808289°		 ← 192.55 m → N 50.908229°
E  8.811035°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 50.906497°
E  8.808289°		 ← 192.56 m →
37 085 m²		 N 50.906497°
E  8.811035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524471282958984 y=0.335186004638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524471282958984 × 217)
    floor (0.524471282958984 × 131072)
    floor (68743.5)     		tx = 68743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335186004638672 × 217)
    floor (0.335186004638672 × 131072)
    floor (43933.5)     		ty = 43933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68743 / 43933 ti = "17/68743/43933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68743/43933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68743 ÷ 217
    68743 ÷ 131072     		x = 0.524467468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43933 ÷ 217
    43933 ÷ 131072     		y = 0.335182189941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524467468261719 × 2 - 1) × π
    0.0489349365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15373364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335182189941406 × 2 - 1) × π
    0.329635620117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.03558084249207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15373364} λ = 0.15373364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03558084249207))-π/2
    2×atan(2.81674184391483)-π/2
    2×1.22965626794498-π/2
    2.45931253588996-1.57079632675     		φ = 0.88851621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15373364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.808289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88851621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.908229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68743 KachelY 43933 0.15373364 0.88851621 8.808289 50.908229
    Oben rechts KachelX + 1 68744 KachelY 43933 0.15378157 0.88851621 8.811035 50.908229
    Unten links KachelX 68743 KachelY + 1 43934 0.15373364 0.88848598 8.808289 50.906497
    Unten rechts KachelX + 1 68744 KachelY + 1 43934 0.15378157 0.88848598 8.811035 50.906497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88851621-0.88848598) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88851621-0.88848598) × R
    3.023000000002e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15373364-0.15378157) × cos(0.88851621) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.630564344571932 × 6371000     		do = 192.550408304111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15373364-0.15378157) × cos(0.88848598) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.630587806904628 × 6371000     		du = 192.557572809651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88851621)-sin(0.88848598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630564344571932-0.630587806904628)×R²
    abs(0.15378157-0.15373364)×2.34623326952343e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.34623326952343e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.34623326952343e-05×40589641000000     		ar = 37084.9993569072m²