Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68742 / 72586
↖ ↑ ↗
← S 19.004997°
E  8.805542°		 ← 288.78 m → S 19.004997°
E  8.808289°		 →
↑
288.73 m
↓
↑
288.73 m
↓
S 19.007594°
E  8.805542°		 ← 288.77 m →
83 379 m²		 S 19.007594°
E  8.808289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524463653564453 y=0.553791046142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524463653564453 × 217)
    floor (0.524463653564453 × 131072)
    floor (68742.5)     		tx = 68742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553791046142578 × 217)
    floor (0.553791046142578 × 131072)
    floor (72586.5)     		ty = 72586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68742 / 72586 ti = "17/68742/72586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68742/72586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68742 ÷ 217
    68742 ÷ 131072     		x = 0.524459838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72586 ÷ 217
    72586 ÷ 131072     		y = 0.553787231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524459838867188 × 2 - 1) × π
    0.048919677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15368570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553787231445312 × 2 - 1) × π
    -0.107574462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.337955142321396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15368570} λ = 0.15368570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337955142321396))-π/2
    2×atan(0.713227280900849)-π/2
    2×0.61954828052833-π/2
    1.23909656105666-1.57079632675     		φ = -0.33169977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15368570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.805542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33169977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.004997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68742 KachelY 72586 0.15368570 -0.33169977 8.805542 -19.004997
    Oben rechts KachelX + 1 68743 KachelY 72586 0.15373364 -0.33169977 8.808289 -19.004997
    Unten links KachelX 68742 KachelY + 1 72587 0.15368570 -0.33174509 8.805542 -19.007594
    Unten rechts KachelX + 1 68743 KachelY + 1 72587 0.15373364 -0.33174509 8.808289 -19.007594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33169977--0.33174509) × R
    4.53200000000153e-05 × 6371000     		dl = 288.733720000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33169977--0.33174509) × R
    4.53200000000153e-05 × 6371000     		dr = 288.733720000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15368570-0.15373364) × cos(-0.33169977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945490178514262 × 6371000     		do = 288.777037435428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15368570-0.15373364) × cos(-0.33174509) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945475419057473 × 6371000     		du = 288.772529517417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33169977)-sin(-0.33174509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945490178514262-0.945475419057473)×R²
    abs(0.15373364-0.15368570)×1.47594567890819e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47594567890819e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47594567890819e-05×40589641000000     		ar = 83379.0174896775m²