Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68737 / 72319
↖ ↑ ↗
← S 18.310204°
E  8.791809°		 ← 289.90 m → S 18.310204°
E  8.794556°		 →
↑
289.88 m
↓
↑
289.88 m
↓
S 18.312811°
E  8.791809°		 ← 289.90 m →
84 036 m²		 S 18.312811°
E  8.794556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524425506591797 y=0.551753997802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524425506591797 × 217)
    floor (0.524425506591797 × 131072)
    floor (68737.5)     		tx = 68737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551753997802734 × 217)
    floor (0.551753997802734 × 131072)
    floor (72319.5)     		ty = 72319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68737 / 72319 ti = "17/68737/72319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68737/72319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68737 ÷ 217
    68737 ÷ 131072     		x = 0.524421691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72319 ÷ 217
    72319 ÷ 131072     		y = 0.551750183105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524421691894531 × 2 - 1) × π
    0.0488433837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15344602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551750183105469 × 2 - 1) × π
    -0.103500366210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.325155990122841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15344602} λ = 0.15344602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325155990122841))-π/2
    2×atan(0.722414655301564)-π/2
    2×0.625611495864302-π/2
    1.2512229917286-1.57079632675     		φ = -0.31957334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15344602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.791809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31957334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.310204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68737 KachelY 72319 0.15344602 -0.31957334 8.791809 -18.310204
    Oben rechts KachelX + 1 68738 KachelY 72319 0.15349395 -0.31957334 8.794556 -18.310204
    Unten links KachelX 68737 KachelY + 1 72320 0.15344602 -0.31961884 8.791809 -18.312811
    Unten rechts KachelX + 1 68738 KachelY + 1 72320 0.15349395 -0.31961884 8.794556 -18.312811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31957334--0.31961884) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dl = 289.880500000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31957334--0.31961884) × R
    4.55000000000316e-05 × 6371000     		dr = 289.880500000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15344602-0.15349395) × cos(-0.31957334) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.949369544648305 × 6371000     		do = 289.901411373992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15344602-0.15349395) × cos(-0.31961884) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.949355249315924 × 6371000     		du = 289.897046122276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31957334)-sin(-0.31961884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949369544648305-0.949355249315924)×R²
    abs(0.15349395-0.15344602)×1.42953323813977e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.42953323813977e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.42953323813977e-05×40589641000000     		ar = 84036.1333936537m²