Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68734 / 72571
↖ ↑ ↗
← S 18.966039°
E  8.783569°		 ← 288.84 m → S 18.966039°
E  8.786316°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
S 18.968636°
E  8.783569°		 ← 288.84 m →
83 417 m²		 S 18.968636°
E  8.786316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524402618408203 y=0.553676605224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524402618408203 × 217)
    floor (0.524402618408203 × 131072)
    floor (68734.5)     		tx = 68734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553676605224609 × 217)
    floor (0.553676605224609 × 131072)
    floor (72571.5)     		ty = 72571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68734 / 72571 ti = "17/68734/72571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68734/72571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68734 ÷ 217
    68734 ÷ 131072     		x = 0.524398803710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72571 ÷ 217
    72571 ÷ 131072     		y = 0.553672790527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524398803710938 × 2 - 1) × π
    0.048797607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15330220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553672790527344 × 2 - 1) × π
    -0.107345581054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.337236088827095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15330220} λ = 0.15330220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337236088827095))-π/2
    2×atan(0.713740313896391)-π/2
    2×0.619888249313009-π/2
    1.23977649862602-1.57079632675     		φ = -0.33101983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15330220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.783569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33101983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.966039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68734 KachelY 72571 0.15330220 -0.33101983 8.783569 -18.966039
    Oben rechts KachelX + 1 68735 KachelY 72571 0.15335014 -0.33101983 8.786316 -18.966039
    Unten links KachelX 68734 KachelY + 1 72572 0.15330220 -0.33106516 8.783569 -18.968636
    Unten rechts KachelX + 1 68735 KachelY + 1 72572 0.15335014 -0.33106516 8.786316 -18.968636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33101983--0.33106516) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dl = 288.797430000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33101983--0.33106516) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dr = 288.797430000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15330220-0.15335014) × cos(-0.33101983) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945711382816869 × 6371000     		do = 288.844598923243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15330220-0.15335014) × cos(-0.33106516) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945696649247924 × 6371000     		du = 288.840098912045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33101983)-sin(-0.33106516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945711382816869-0.945696649247924)×R²
    abs(0.15335014-0.15330220)×1.47335689451022e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47335689451022e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47335689451022e-05×40589641000000     		ar = 83416.9280568715m²