Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68733 / 72670
↖ ↑ ↗
← S 19.222990°
E  8.780823°		 ← 288.34 m → S 19.222990°
E  8.783569°		 →
↑
288.35 m
↓
↑
288.35 m
↓
S 19.225583°
E  8.780823°		 ← 288.33 m →
83 142 m²		 S 19.225583°
E  8.783569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524394989013672 y=0.554431915283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524394989013672 × 217)
    floor (0.524394989013672 × 131072)
    floor (68733.5)     		tx = 68733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554431915283203 × 217)
    floor (0.554431915283203 × 131072)
    floor (72670.5)     		ty = 72670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68733 / 72670 ti = "17/68733/72670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68733/72670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68733 ÷ 217
    68733 ÷ 131072     		x = 0.524391174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72670 ÷ 217
    72670 ÷ 131072     		y = 0.554428100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524391174316406 × 2 - 1) × π
    0.0487823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15325427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554428100585938 × 2 - 1) × π
    -0.108856201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.341981841889481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15325427} λ = 0.15325427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.341981841889481))-π/2
    2×atan(0.710361103407493)-π/2
    2×0.617645930218879-π/2
    1.23529186043776-1.57079632675     		φ = -0.33550447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15325427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.780823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33550447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.222990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68733 KachelY 72670 0.15325427 -0.33550447 8.780823 -19.222990
    Oben rechts KachelX + 1 68734 KachelY 72670 0.15330220 -0.33550447 8.783569 -19.222990
    Unten links KachelX 68733 KachelY + 1 72671 0.15325427 -0.33554973 8.780823 -19.225583
    Unten rechts KachelX + 1 68734 KachelY + 1 72671 0.15330220 -0.33554973 8.783569 -19.225583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33550447--0.33554973) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dl = 288.351459999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33550447--0.33554973) × R
    4.52599999999914e-05 × 6371000     		dr = 288.351459999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15325427-0.15330220) × cos(-0.33550447) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944244335285073 × 6371000     		do = 288.33636703866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15325427-0.15330220) × cos(-0.33554973) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.944229432664146 × 6371000     		du = 288.331816344081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33550447)-sin(-0.33554973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944244335285073-0.944229432664146)×R²
    abs(0.15330220-0.15325427)×1.49026209270708e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.49026209270708e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.49026209270708e-05×40589641000000     		ar = 83141.5563211144m²