Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68732 / 72579
↖ ↑ ↗
← S 18.986818°
E  8.778076°		 ← 288.81 m → S 18.986818°
E  8.780823°		 →
↑
288.80 m
↓
↑
288.80 m
↓
S 18.989415°
E  8.778076°		 ← 288.80 m →
83 407 m²		 S 18.989415°
E  8.780823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524387359619141 y=0.553737640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524387359619141 × 217)
    floor (0.524387359619141 × 131072)
    floor (68732.5)     		tx = 68732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553737640380859 × 217)
    floor (0.553737640380859 × 131072)
    floor (72579.5)     		ty = 72579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68732 / 72579 ti = "17/68732/72579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68732/72579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68732 ÷ 217
    68732 ÷ 131072     		x = 0.524383544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72579 ÷ 217
    72579 ÷ 131072     		y = 0.553733825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524383544921875 × 2 - 1) × π
    0.04876708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15320633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.553733825683594 × 2 - 1) × π
    -0.107467651367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.337619584024056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15320633} λ = 0.15320633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.337619584024056))-π/2
    2×atan(0.713466650391808)-π/2
    2×0.619706922730765-π/2
    1.23941384546153-1.57079632675     		φ = -0.33138248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15320633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.778076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33138248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.986818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68732 KachelY 72579 0.15320633 -0.33138248 8.778076 -18.986818
    Oben rechts KachelX + 1 68733 KachelY 72579 0.15325427 -0.33138248 8.780823 -18.986818
    Unten links KachelX 68732 KachelY + 1 72580 0.15320633 -0.33142781 8.778076 -18.989415
    Unten rechts KachelX + 1 68733 KachelY + 1 72580 0.15325427 -0.33142781 8.780823 -18.989415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33138248--0.33142781) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dl = 288.797430000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33138248--0.33142781) × R
    4.53300000000101e-05 × 6371000     		dr = 288.797430000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15320633-0.15325427) × cos(-0.33138248) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.945593456603173 × 6371000     		do = 288.80858122216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15320633-0.15325427) × cos(-0.33142781) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94557870748884 × 6371000     		du = 288.804076463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33138248)-sin(-0.33142781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945593456603173-0.94557870748884)×R²
    abs(0.15325427-0.15320633)×1.47491143328571e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.47491143328571e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.47491143328571e-05×40589641000000     		ar = 83406.525551822m²