Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 68731 / 43829
↖ ↑ ↗
← N 51.087998°
E  8.775329°		 ← 191.85 m → N 51.087998°
E  8.778076°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 51.086273°
E  8.775329°		 ← 191.85 m →
36 803 m²		 N 51.086273°
E  8.778076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 68731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.524379730224609 y=0.334392547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.524379730224609 × 217)
    floor (0.524379730224609 × 131072)
    floor (68731.5)     		tx = 68731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334392547607422 × 217)
    floor (0.334392547607422 × 131072)
    floor (43829.5)     		ty = 43829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 68731 / 43829 ti = "17/68731/43829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/68731/43829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 68731 ÷ 217
    68731 ÷ 131072     		x = 0.524375915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43829 ÷ 217
    43829 ÷ 131072     		y = 0.334388732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.524375915527344 × 2 - 1) × π
    0.0487518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15315839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334388732910156 × 2 - 1) × π
    0.331222534179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.04056628005256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15315839} λ = 0.15315839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04056628005256))-π/2
    2×atan(2.83081959722368)-π/2
    2×1.23122504788709-π/2
    2.46245009577418-1.57079632675     		φ = 0.89165377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15315839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.775329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89165377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.087998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 68731 KachelY 43829 0.15315839 0.89165377 8.775329 51.087998
    Oben rechts KachelX + 1 68732 KachelY 43829 0.15320633 0.89165377 8.778076 51.087998
    Unten links KachelX 68731 KachelY + 1 43830 0.15315839 0.89162366 8.775329 51.086273
    Unten rechts KachelX + 1 68732 KachelY + 1 43830 0.15320633 0.89162366 8.778076 51.086273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89165377-0.89162366) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dl = 191.830809999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89165377-0.89162366) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dr = 191.830809999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15315839-0.15320633) × cos(0.89165377) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628126068508915 × 6371000     		do = 191.845869287611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15315839-0.15320633) × cos(0.89162366) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.628149497164067 × 6371000     		du = 191.853025001948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89165377)-sin(0.89162366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628126068508915-0.628149497164067)×R²
    abs(0.15320633-0.15315839)×2.34286551522578e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.34286551522578e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.34286551522578e-05×40589641000000     		ar = 36802.6348464659m²